Admin đã viết:Nghe nói nhiều đến hệ thức truy hồi. Nay ta thử khám phá trước xem. Bởi vì tốc độ của thầy dạy với những người học lớn tuổi như chúng tôi thường rất nhanh, nên chi bằng ta học trước một tý. Khi lên lớp, dù thầy có phi nước đại thì còn kịp mà hình dung.
Dạng bài tập của Hệ thức truy hồi trong các đề thi là như thế này. Đề thi câu 2 năm 2009.
Cho dãy số a_o = 5, a₁ = 8...
a_n=3a_n-1 - 2a_n-2

a. Tìm công thức biểu diễn a_n theo n.
b. Tìm n tối thiểu để a_n ≥ 100.

Cách giải bài toán này thứ tự như sau. Đây là bình giải, không phải lời giải nhen.

1. Xác định các chỉ số của phương trình đặc trưng:
Chỉ số này tìm thấy ở công thức tính a_n. Ta thấy a_n=3a_n-1 - 2a_n-2
Bạn nhìn thấy 2 con số tô đỏ chưa. Đó là các hệ số c₁ và c₂ của phương trình đặc trưng hệ thức truy hồi.
Hệ thức truy hồi của bài toán dạng này là r² - c₁r + c₂ = 0
2. Điền các hệ số trên vào hệ thức truy hồi. Rồi viết vào bài làm, câu sau:
Phương trình đặc trưng của hệ thức truy hồi này có dạng r² - 3r + 2 = 0

Phải giải phương trình hệ thức truy hồi trên để lấy nghiệm. Nghiệm này giải ở giấy nháp thôi, trừ trường hợp đặc biệt mới phải làm vào giấy thi vì không cần thiết. Sau đó viết vào bài làm câu thứ 2 hai nghiệm r₁ và r₂ như sau:
Nghiệm của phương trình hệ thức truy hồi này là 1 và 2.

Sau đó căn cứ vào nghiệm này chỉ ra phương trình truy hồi của phần tử thứ n, không phụ thuộc vào các phần tử khác, mà chỉ phụ thuộc vào chỉ số n mà thôi. Ở bài toán này ta vừa tìm ra hai nghiệm, nên viết tiếp câu thứ 3 vào bài làm:
Theo định lý về hệ thức truy hồi, dãy {a_n} là nghiệm của hệ thức truy hồi khi và chỉ khi:

[You must be registered and logged in to see this image.]
Hay (thay số vào ta có):
[You must be registered and logged in to see this image.]
Với α₁ và α₂ là những hằng số.
Để xác định các hằng số này, ta thay vào các giá trị đầu để nhận được hệ phương trình cần giải:

Thay vào các giá trị đầu ta được hệ phương trình là:
[You must be registered and logged in to see this image.]

Giải ra ta được α₁ =2 và α₂ =3.

Vậy biểu thức tính a_n= 2 + 3.2ⁿ

b. Để tìm n sao cho a_n ≥ 100 thì giải bất phương trình sau:

2 + 3.2ⁿ ≥ 100

→ 2ⁿ ≥ (100 - 2)/3 > 32 → 2ⁿ > 2⁵ → n > 5

tranhue đã viết:tớ gửi bài này các bạn xem jum nhé?
Giải hệ thức truy hồi:
a_n = 3a_n-1 + 2b_n-1 + 2 (1)
b_n = a_n-1 + 2b_n-1 + 1 (2)
a_o = 0;b_o = 2

Giải
ta có: a₁ = 4, b₁ = 5
từ (2) → : a_n-1 = b_n - 2b_n-1 - 1 (*)
a_n = b_n+1 - 2b_n - 1 (**)
thay (*) (**) vào (1)
b_n+1= 5b_n - 4b_n-1

huutaisc đã viết:

tranhue đã viết:tớ gửi bài này các bạn xem jum nhé?
Giải hệ thức truy hồi:
a_n = 3a_n-1 + 2b_n-1 + 2 (1)
b_n = a_n-1 + 2b_n-1 + 1 (2)
a_o = 0;b_o = 2

Giải
ta có: a₁ = 4, b₁ = 5
từ (2) → : a_n-1 = b_n - 2b_n-1 - 1 (*)
a_n = b_n+1 - 2b_n - 1 (**)
thay (*) (**) vào (1)
b_n+1= 5b_n - 4b_n-1

ủa sao a₁ = 4 hay vậy ta. lẽ ra bằng 6 chứ nhỉ

Admin đã viết:Nghe nói nhiều đến hệ thức truy hồi. Nay ta thử khám phá trước xem. Bởi vì tốc độ của thầy dạy với những người học lớn tuổi như chúng tôi thường rất nhanh, nên chi bằng ta học trước một tý. Khi lên lớp, dù thầy có phi nước đại thì còn kịp mà hình dung.
Dạng bài tập của Hệ thức truy hồi trong các đề thi là như thế này. Đề thi câu 2 năm 2009.
Cho dãy số a_o = 5, a₁ = 8...
a_n=3a_n-1 - 2a_n-2

a. Tìm công thức biểu diễn a_n theo n.
b. Tìm n tối thiểu để a_n ≥ 100.

Cách giải bài toán này thứ tự như sau. Đây là bình giải, không phải lời giải nhen.

1. Xác định các chỉ số của phương trình đặc trưng:
Chỉ số này tìm thấy ở công thức tính a_n. Ta thấy a_n=3a_n-1 - 2a_n-2
Bạn nhìn thấy 2 con số tô đỏ chưa. Đó là các hệ số c₁ và c₂ của phương trình đặc trưng hệ thức truy hồi.
Hệ thức truy hồi của bài toán dạng này là r² - c₁r + c₂ = 0
2. Điền các hệ số trên vào hệ thức truy hồi. Rồi viết vào bài làm, câu sau:
Phương trình đặc trưng của hệ thức truy hồi này có dạng r² - 3r + 2 = 0

Phải giải phương trình hệ thức truy hồi trên để lấy nghiệm. Nghiệm này giải ở giấy nháp thôi, trừ trường hợp đặc biệt mới phải làm vào giấy thi vì không cần thiết. Sau đó viết vào bài làm câu thứ 2 hai nghiệm r₁ và r₂ như sau:
Nghiệm của phương trình hệ thức truy hồi này là 1 và 2.

Sau đó căn cứ vào nghiệm này chỉ ra phương trình truy hồi của phần tử thứ n, không phụ thuộc vào các phần tử khác, mà chỉ phụ thuộc vào chỉ số n mà thôi. Ở bài toán này ta vừa tìm ra hai nghiệm, nên viết tiếp câu thứ 3 vào bài làm:
Theo định lý về hệ thức truy hồi, dãy {a_n} là nghiệm của hệ thức truy hồi khi và chỉ khi:

[You must be registered and logged in to see this image.]
Hay (thay số vào ta có):
[You must be registered and logged in to see this image.]
Với α₁ và α₂ là những hằng số.
Để xác định các hằng số này, ta thay vào các giá trị đầu để nhận được hệ phương trình cần giải:

Thay vào các giá trị đầu ta được hệ phương trình là:
[You must be registered and logged in to see this image.]

Giải ra ta được α₁ =2 và α₂ =3.

Vậy biểu thức tính a_n= 2 + 3.2ⁿ

b. Để tìm n sao cho a_n ≥ 100 thì giải bất phương trình sau:

2 + 3.2ⁿ ≥ 100

→ 2ⁿ ≥ (100 - 2)/3 > 32 → 2ⁿ > 2⁵ → n > 5

Vũ Thị Lý đã viết:Anh xem ở đây có đấy
[You must be registered and logged in to see this link.]

ngocvuquoc đã viết:

Admin đã viết:Nghe nói nhiều đến hệ thức truy hồi. Nay ta thử khám phá trước xem. Bởi vì tốc độ của thầy dạy với những người học lớn tuổi như chúng tôi thường rất nhanh, nên chi bằng ta học trước một tý. Khi lên lớp, dù thầy có phi nước đại thì còn kịp mà hình dung.
Dạng bài tập của Hệ thức truy hồi trong các đề thi là như thế này. Đề thi câu 2 năm 2009.
Cho dãy số a_o = 5, a₁ = 8...
a_n=3a_n-1 - 2a_n-2

a. Tìm công thức biểu diễn a_n theo n.
b. Tìm n tối thiểu để a_n ≥ 100.

Cách giải bài toán này thứ tự như sau. Đây là bình giải, không phải lời giải nhen.

1. Xác định các chỉ số của phương trình đặc trưng:
Chỉ số này tìm thấy ở công thức tính a_n. Ta thấy a_n=3a_n-1 - 2a_n-2
Bạn nhìn thấy 2 con số tô đỏ chưa. Đó là các hệ số c₁ và c₂ của phương trình đặc trưng hệ thức truy hồi.
Hệ thức truy hồi của bài toán dạng này là r² - c₁r + c₂ = 0
2. Điền các hệ số trên vào hệ thức truy hồi. Rồi viết vào bài làm, câu sau:
Phương trình đặc trưng của hệ thức truy hồi này có dạng r² - 3r + 2 = 0

Phải giải phương trình hệ thức truy hồi trên để lấy nghiệm. Nghiệm này giải ở giấy nháp thôi, trừ trường hợp đặc biệt mới phải làm vào giấy thi vì không cần thiết. Sau đó viết vào bài làm câu thứ 2 hai nghiệm r₁ và r₂ như sau:
Nghiệm của phương trình hệ thức truy hồi này là 1 và 2.

Sau đó căn cứ vào nghiệm này chỉ ra phương trình truy hồi của phần tử thứ n, không phụ thuộc vào các phần tử khác, mà chỉ phụ thuộc vào chỉ số n mà thôi. Ở bài toán này ta vừa tìm ra hai nghiệm, nên viết tiếp câu thứ 3 vào bài làm:
Theo định lý về hệ thức truy hồi, dãy {a_n} là nghiệm của hệ thức truy hồi khi và chỉ khi:

[You must be registered and logged in to see this image.]
Hay (thay số vào ta có):
[You must be registered and logged in to see this image.]
Với α₁ và α₂ là những hằng số.
Để xác định các hằng số này, ta thay vào các giá trị đầu để nhận được hệ phương trình cần giải:

Thay vào các giá trị đầu ta được hệ phương trình là:
[You must be registered and logged in to see this image.]

Giải ra ta được α₁ =2 và α₂ =3.

Vậy biểu thức tính a_n= 2 + 3.2ⁿ

b. Để tìm n sao cho a_n ≥ 100 thì giải bất phương trình sau:

2 + 3.2ⁿ ≥ 100

→ 2ⁿ ≥ (100 - 2)/3 > 32 → 2ⁿ > 2⁵ → n > 5

≡≡≡≡≡≡≡≡
chỗ r^2 - c1.r + c2 sai dấu + ; phải sửa là r^2 - c1.r - c2

Vũ Thị Lý đã viết:Anh xem ở đây có đấy
[You must be registered and logged in to see this link.]

Admin đã viết:Các định lý đối với hệ thức truy hồi được phép áp dụng ngay:
Định lý 1:
Cho c₁, c₂ là 2 số thực.
Giả sử phương trình r₂ - c₁r - c₂ = 0 có 2 nghiệm phân biệt r₁ và r₂.
Khi đó dãy {a_n} là nghiệm của hệ thức truy hồi:
a_n = c₁a_n-1 + c₂a_n-2
khi và chỉ khi a_n = α₁r₁ⁿ + α₂r₂ⁿ với n = 1, 2, ... trong đó α₁ và α₂ là các hằng số.

Định lý 2:
Cho c₁, c₂ là 2 số thực và c₂ ≠ 0.
Giả sử phương trình r₂ - c₁r - c₂ = 0 chỉ có 1 nghiệm r_o.
Khi đó dãy {a_n} là nghiệm của hệ thức truy hồi:
a_n = c₁a_n-1 + c₂a_n-2
khi và chỉ khi a_n = α₁r_oⁿ + α₂ⁿr_oⁿ với n = 0, 1, 2, ... trong đó α₁ và α₂ là các hằng số.

Định lý 3:
Cho c₁, c₂, ..., c_k là các số thực.
Giả sử phương trình r_k - c₁r_k-1 ...- c_k = 0 có k nghiệm phân biệt r₁, r₂...., r_k.
Khi đó dãy {a_n} là nghiệm của hệ thức truy hồi:
a_n = c₁a_n-1 + c₂a_n-2 +...+ c_ka_n-k
khi và chỉ khi a_n = α₁r₁ⁿ + α₂r₂ⁿ +...+ α_kr_kⁿ với n = 0, 1, 2, ... trong đó α₁, α₂,…,α_k là các hằng số.

Định lý 4:
Cho c₁, c₂, ..., c_k là các số thực.
Giả sử phương trình r_k - c₁r_k-1 ...- c_k = 0 có t nghiệm r₁, r₂,..., rt lặp lần lượt m₁, m₂,..., m_t với:
m₁ + m₂ + ...+ m_t = k
Khi đó dãy {a_n} là nghiệm của hệ thức truy hồi:
a_n = c₁a_n-1 + c₂a_n-2 +...+ c_ka_n-k
khi và chỉ khi
a_n=
[You must be registered and logged in to see this image.]

với n = 0, 1, 2, ... trong đó α_i,j là các hằng số.

Định lý 5:
Với hệ phương trình hồi quy không thuần nhất dạng:
a_n = c₁a_n-1+ c₂a_n-2 +...+ c_ka_n-k + F(n)
Khi đó nghiệm có dạng
{a_n^(p) + a_n^(h)}

Trong đó:
a_n^(h): nghiệm của a_n = c₁a_n-1 + c₂a_n-2+...+ c_ka_n-k
a_n^(p): nghiệm riêng phương trình, có dạng hồi quy:
a_n^(p) = c₁a_n-1^(p) + c₂a_n-2^(p) +...+c_ka_n-k^(p)+ F(n)

Admin đã viết:Để giải một hệ thức truy hồi, hồi quy không thuần nhất
Ví dụ mẫu: a_n = 5a_n-1 - 6a_n-2+ 7ⁿ
Với a_o = 1, a₁ = 2
Bước 1. Tách bạch hệ thức truy hồi thành 2 phần. Phần 1, chỉ liên quan đến các phần tử của hệ thức, phần 2 sẽ xử lý đối với những gì không liên quan đến các phần tử của hệ thức.
Ví dụ:
Hệ thức a_n = 5a_n-1 - 6a_n-2+ 7ⁿ sẽ bị tách ra làm 2 phần
Phần 1: Là 5a_n-1 - 6a_n-2
Phần 2: Là F(n) ở đây F(n) = 7ⁿ

Bước 2. Giải tìm hệ thức của phần 1 giống như cách giải thông thường của hệ thức truy hồi thuần nhất. Kết quả chính là phần a_n^(h)
Lý luận như thế này vào bài viết:
a_n^(h) là nghiệm của phương trình:
r² - 5r - 6 = 0 (*)
hay r₁ = 2, r₂ = 3.
Theo định lý 1 ta có:
a_n^(h) = α₁2ⁿ + α₂3ⁿ
Hết bước 2, các hệ số α vẫn chưa tính được, vẫn để ở dạng tổng quát.

Bước 3. Tìm nghiệm riêng đối với phần 2 là F(n) = 7ⁿ. Nghiệm riêng gọi là a_n^(p)

- Xác định dạng của nghiệm riêng:
+ Nếu là một hằng số, nghiệm riêng có dạng hằng số c.
+ Nếu F(n) là phương trình bậc nhất của n, nghiệm riêng có dạng c_n + d (không dùng a_n + b kẻo trùng với các phần tử a_n đang xét)
+ Nếu F(n) là phương trình bậc 2 của n, nghiệm riêng có dạng cn² + dn + e
+ Vân vân... bậc nào thì cứ điền vào bậc ấy.
+ Nếu F(n) là phương trình mũ của n, nghiệm riêng có dạng c(phương trình mũ). Ở ví dụ trên nghiệm riêng có dạng c7ⁿ.
+ Nếu ở bước 2, nghiệm trùng với cơ số mũ. Nghiệm riêng sẽ có dạng nhân với n^m trong đó m là số nghiệm của phương trình dạng * ở bước 2 trùng với cơ số mũ.
- Do nghiệm riêng thoả mãn phương trình hồi quy của định lý 5, nên ta thay vào để tìm hệ số phần nghiệm riêng này:
c7ⁿ = 5c7^n-1 - 6c7^n-2 + 7ⁿ

Tạm dừng lại ở đây phân tích đã. Phương trình này có đặc điểm gì?
+ Thứ nhất, nó được thay phần tử hệ thức truy hồi bằng dạng nghiệm riêng.
+ Thứ hai, các phần tử được biến đổi theo chỉ số n tương ứng.
+ Phương trình này có dạng đầy đủ theo đề bài ra.

- Sau khi thay xong, nhiệm vụ của ta là phải tìm các hệ số của phương trình trên. Tìm bằng cách nào:
+ Nhóm và chia
+ Đúng với mọi n thì viết dưới dạng phương trình với n, rồi cho tất cả các hệ số phương trình n này bằng 0. Giải hệ này để tìm hệ số.
+ Cụ thể bài này ta nhóm lại để tính được hệ số. Ở đây chỉ có 1 hệ số C = 49/20
Thay hệ số tìm được này vào dạng nghiệm riêng để có được a_n^(p). Trong bài tập này ta có a_n^(p) =(49/20)7ⁿ

Bước 4. Thông báo dạng nghiệm của hệ thức là dạng:
a_n = a_n^(h) + a_n^(p)
Thay kết quả của bước 3 vào. Để có biểu thức mới. Hệ số α vẫn chưa tính được vẫn để ở dạng tổng quát.
Trường hợp cụ thể bài toán này ta có:
a_n = a_n^(h) + a_n^(p)
= α₁2ⁿ + α₂3ⁿ + (49/20)7ⁿ

Bước 5.
Thay kết quả của bước 4 vào các giá trị đầu để tính các hệ số α. Tính xong các hệ số α là các số cụ thể, thì thông báo nghiệm của hệ thức truy hồi là... và viết ra hệ thức a_n phụ thuộc vào n. Viết xong, yêu cầu bài toán hoàn thành.
Nào thay thử ta có, thay n vào các giá trị đầu, a_o thay n = 0, a₁ thay n = 1:
a_o = 1 = α₁2^o + α₂3^o + (49/20)7^o
a₁ = 2 = α₁2¹ + α₂3¹ + (49/20)7¹

Giải hệ phương trình này quá đơn giản. Dành cho Khách viếng thăm thực hiện.