Từ đề luyện thi toán rời rạc câu 1a, trang 4.
Tìm hệ số [You must be registered and logged in to see this image.] là lớn nhất theo k. Đây là bình giải chứ không phải lời giải nha.
Giả sử n chẵn đặt n = 2m. Nghĩa là m là phần tử giữa của dãy khai triển Nhị thức Newton. Ở đây ta phải chứng minh [You must be registered and logged in to see this image.] là lớn nhất (Rõ ràng quá rồi vì càng về 2 đầu của nhị thức Newton thì nó càng bé mà!) Nếu k không phải ở giữa thì ta đặt giá trị tuyệt đối của hiệu /m-k/ = X, suy ra k= m-X. Ta có:
[You must be registered and logged in to see this image.]

Do tử số không thay đổi, nên ta thấy [You must be registered and logged in to see this image.] lớn nhất, khi mẫu số bé nhất.

Có nghĩa là ta cần phải chứng minh cái mẫu số MS = (m+X)!(m-X)! lớn hơn m!m! là xong đúng không?
Ta thấy (m+X)! = m! (m+1)(m+2)...(m+X) tức là số thừa số sau m chính bằng X số. Các thừa số này đều lớn hơn m.
còn:
[You must be registered and logged in to see this image.] tức là số thừa số ở mẫu chính là X số. Các thừa số này đều nhỏ hơn m.

Hay
[You must be registered and logged in to see this image.]
Ta thấy m!m! nhân với một phân số có giá trị lớn hơn 1 (mà tử số là các số lớn hơn m nhân với nhau, mẫu số là những số bé hơn m nhân với nhau) chắc chắn phải lớn hơn m!m!

Từ đây ta suy ra MS = (m+X)!(m-X)! bé nhất khi X=0. Hay m là điểm giữa của n. Lập luận tương tự nếu n lẻ cũng vậy.
Vậy giá trị của [You must be registered and logged in to see this image.] lớn nhất khi k = n div 2.