Nếu A là một tập hợp.
Họ các tập con {Ai} với i = 1..n là phân hoạch của A khi:
- Các Ai ≠ Ø
- Từng đôi 1, các Ai không giao nhau. Ai ∩ Aj = Ø
- Hợp của các Ai trùng với tập A hay
[You must be registered and logged in to see this image.]

Hiểu nôm na là thế này, chia A ra làm nhiều phần riêng rẽ Ai. Gom tất cả các phần chia Ai lại cho vào 1 cái túi đặt tên túi là phân hoạch của A.

Nếu A có nhiều hơn 1 phần tử tồn tại ít nhất 1 phân hoạch (Nói nhiều hơn, nghĩa là tối thiểu =2 đó nhen). Đơn giản là chọn phân hoạch có 1 tập là A₁ và tập A₂ là phần còn lại khi lấy A cắt bỏ A₁.
Hay viết cho dễ hiểu:
- A₁
- A₂ (Với A₂ = A\A₁)
Thì ∏₁ ={A₁, A₂}

A càng nhiều phần tử, càng có nhiều cách chia (phân hoạch). Mỗi một cách chia có thể chia để các phần trong nó có nhiều phần tử, hoặc ít phần tử.
Phân hoạch ∏₁ được coi là ≤ Phân hoạch ∏₂ khi:
- Mỗi tập trong phân hoạch ∏₁ đều là tập con của tập trong phân hoạch ∏₂
Ví dụ:
A là tập gồm các phần tử {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Có thể phân hoạch thành các tập có một phần tử:
∏₁ = {{1},{2},{3},{4},{5},{6}}

Có thể phân hoạch thành các tập có 2 phần tử:
∏₂ = {{1,2},{3,4},{5,6}}

Theo định nghĩa trên ∏₁ ≤ ∏₂ vì bất cứ phần tử nào của ∏₁ đều thuộc tập con của 1 trong các phần tử của ∏₂:
{1} [You must be registered and logged in to see this image.]{1,2}
{2} [You must be registered and logged in to see this image.]{1,2}
{3}[You must be registered and logged in to see this image.]{3,4}
{4}[You must be registered and logged in to see this image.]{3,4}
{5}[You must be registered and logged in to see this image.]{5,6}
{6}[You must be registered and logged in to see this image.]{5,6}

Từ đây ta rút ra điều gì?
Nếu ta phân hoạch 1 tập thành các tập mà mỗi tập chỉ có 1 phần tử, thì phân hoạch này rất dễ trở thành ≤ một phân hoạch ∏₂ khác
∏₁ = {{1},{2},{3},{4},{5},{6}}

Bây giờ ta làm thử đề số 6, câu 5 trang 168.
Cho Z là tập các số nguyên và 2 số nguyên p ≠ q.
Quan hệ R trên Z là quan hệ đồng dư p.
Quan hệ S trên Z là quan hệ đồng dư q.
a. Chứng minh R, S là các quan hệ tương đương.
b. Gọi ∏_p là phân hoạch tương ứng với R và ∏_q là phân hoạch tương ứng với S.
Chứng minh rằng ∏_p ≤ ∏_q khi và chỉ khi p chia hết cho q.

a. Chứng minh R, S là các quan hệ tương đương. Vì vai trò của R, S như nhau nên ta chứng minh R, còn S tương tự.
R là quan hệ tương đương vì:
-R có tính phản xạ: Lấy 1 phần tử a thuộc Z, thì ta đều có aRa. Vì a ≡ p thì chính a cũng ≡ p.
-R có tính đối xứng: Lấy 2 phần tử a, b thuộc Z sao cho aRb thì bRa: Nghĩa là a ≡ p với b, thì đương nhiên b ≡ p với a.
-R có tính bắc cầu: Lấy 2 phần tử a, b, c thuộc Z sao cho nếu aRb, bRc thì aRc: Nghĩa là a ≡ p với b, b ≡ p với c thì đương nhiên a ≡ p với c. ĐPCM.
b) Điều kiện đủ
Khi p chia hết cho q thì:
Lấy phần tử a,b thuộc z. Ta có aRb sẽ được X= [a] theo R, aSb sẽ được Y= [a] theo S. Do đều là quan hệ đồng dư, và p chia hết cho q đương nhiên các phần tử của Y sẽ là phần con của các phần tử X. (Vì có thể thay p = kq) Vậy từ đó suy ra ∏_p ≤ ∏_q
Điều kiện cần
Khi ∏_p ≤ ∏_q nghĩa là mỗi tập hợp trong ∏p đều là tập con của các tập trong ∏q. Vì là quan hệ đồng dư nên suy ra tập con trong ∏q phải chia hết cho tập con trong ∏p. Nghĩa là các phần tử của quan hệ S cũng có thể được viết bằng phép nhân với đồng dư khi thay p=kq