Đề bài: Giải pt nghiệm nguyên x₁ + x₂ + 2x₃ + x₄ = 10 với x₁ < 4?
Trả lời:
Thật ra, có thể đề ra rất nhiều dạng khác nhau về pt nghiệm nguyên. Có nhiều dạng ta không lường trước được. Ví dụ dạng trên. Với mỗi dạng, ta nên áp dụng những kiến thức đã học, đặc biệt là nguyên lý bù trừ, nguyên lý cộng, nguyên lý nhân đối với những trường hợp điều kiện bài toán phức tạp.

Với pt trên ta thấy rằng 2x₃ ≤ 10 . vậy x₃ ≤ 5. thì x₃ có thể nhận 6 giá trị
Phân chia làm các trường hợp như sau:
TH1: x₃ = 0
Ta được pt x₁ + x₂ + x₄ = 10 với x₁ < 4 (1)
ta xet x₁ + x₂ + x₄ = 10 với x₁, x₂, x₄ ≥ 0. Số nghiệm nguyên là R¹⁰₃.
lại xét x₁ + x₂ + x₄ = 10 với x₁, x₂ ≥ 0; x₄ ≥ 4. Số nghiệm nguyên là R⁶₃..
Vậy số nghiệm của (1) là R¹⁰₃ - R⁶₃

TH2: x₃ = 1
Ta được pt x₁ + x₂ + x₄ = 8 với x₁ < 4 (2)
Cách làm tương tự trên, số nghiệm của (2) là R⁸₃ - R⁴₃

TH3: x₃ = 2
Ta được pt x₁ + x₂ + x₄ = 6 với x₁ < 4 (3)
Số nghiệm (3) là R⁶₃ - R²₃

TH4: x₃= 3
Ta được pt x₁ + x₂ + x₄ = 4 với x₁ < 4 (4)
Số nghiệm (4) là R⁴₃ - 1

TH5: x₃ = 4
Ta được pt x₁ + x₂ + x₄ = 2 với x₁ < 4 (5)
Số nghiệm (5) là R(2,3) vì trong trường hợp này điều kiện x₁ < 4 là hiển nhiên

TH6: x₃ = 5
Ta được pt x₁ + x₂ + x₄ = 0 với x₁ < 4 (6)
Số nghiệm (6) là 1 nghiệm x₁ = x₂ = x₄ = 0

Theo nguyên lý cộng, số nghiệm của pt đã cho là

[You must be registered and logged in to see this image.]
Công thức tính cuối cùng rất gọn nhẹ.

Tương tự, làm bài tập trong phần kiểm tra TEST tháng 7.2011
Giải hệ pt nghiệm nguyên 7 ≤ x₁ + x₂ + x₃ + x₄ < 26 (1)
với x₁ < 4, x₂ < 5, x₃ < 6

Ta có số nghiệm của (1) là hiệu M₂ - M₁ với
M₂ là số nghiệm pt:
x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ = 25 (2) với x₁ < 4, x₂ < 5, x₃ < 6

M₁ là số nghiệm pt:
x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ (3) với với x₁ < 4, x₂ < 5, x₃ < 6

Gọi X là tập nghiệm của (1) thoả mãn điều kiện bài toán. Vậy

[You must be registered and logged in to see this image.]

N([You must be registered and logged in to see this image.]) = N(x₁ ≥ 4 v x₂ ≥ 5 v x₃ ≥ 6)
= N(x₁ ≥ 4) + N(x₂ ≥ 5) + N(x₃ ≥ 6) - N(x₁ ≥ 4 [You must be registered and logged in to see this image.] x₂ ≥ 5) - N(x₂ ≥ 5 [You must be registered and logged in to see this image.] x₃ ≥ 6) - N(x₁ ≥ 4 [You must be registered and logged in to see this image.] x₃ ≥ 6) + N(x₁ ≥ 4 [You must be registered and logged in to see this image.] x₂ ≥ 5 [You must be registered and logged in to see this image.] x₃ ≥ 6)

Từ đó áp dụng cho (2) và (3) thì ta được N([You must be registered and logged in to see this image.])
N(X) = N - N([You must be registered and logged in to see this image.]) đó là kết quả.

Đ/c LVĐ thử giải rất có lý, cần phải có cách giải tổng quát chứ.Vì phương trình x₁ + x₂ + 2x₃ + x₄ = 10 với x₁ < 4? còn liệt kê được. Nếu thầy vui tính thêm một tý, cho x₁ + x₂ + 2x₃ + x₄ = 100 hoặc lớn hơn thì cũng mệt. Cuối cùng thấy nó triệt tiêu mất mấy cái R ở giữa, nếu mà giải tổng quát hình như nó cũng triệt tiêu đoạn R ở giữa cũng nên. Member nào căn cứ vào lời giải trên đưa ra được lời giải tổng quát thì tốt quá, để đề phòng thầy dọa ra đề kiểu này. Cách giải đã có, giải tổng quát cũng cần lý luận 1 tý nha.

Hi mọi người.

Yên tâm đi, thực tế, bài toán nghiệm nguyên có mối quan hệ với bài toán tổ hợp có lặp. Khi lập luận về vấn đề này, thực tế là đã chỉ ra song ánh giữa chúng.
Cách giải trên là đúng rồi đấy. Mọi người yên tâm mà dùng. Nếu như addmin nói, bài toán ví dụ x₁ + x₂ + 2x₃ + x₄ = 100 thì ai giải được, ngay cả không có điều kiện gì cũng khó tìm đáp án cuối cùng mà chỉ có dạng công thức.

Nêu một ví dụ để mọi người cùng thực hiện, theo cách lập luận cũ thôi nhé.

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 18 trong đó x₂ chia hết cho 5 và x₁ < 6

Các bác làm ơn cho em hỏi ở đây thêm x5 vào làm gì ạ, em vẫn chưa hiểu rõ lắm.

Ban QT: Xem [You must be registered and logged in to see this link.]