Bài thầy ra ngày 16/5/2011:
Tính:
Ta có:

ta dùng cách chứng minh quy nạp cho nó đơn giản, đỡ phải biến đổi nhiều.
- với n =1 -> S1 = 1/2 * (1/2)2
- Với n =2 -> S2 = 2/3 * (1/2)2
- với n= 3 -> S3 = 3/4 * (1/2)2
.......
Với n = k -> Sk = k/(k+1) * (1/2)2 = k/4*(k + 1)
Chứng minh đúng với n = k +1
Thay vào, biến đổi ta được đpcm
Vậy tổng là : Sn = n/ 4*(n+1)

Tính tổng lập phương của (2n-1) số tự nhiên lẻ liên tiếp.
Đây là lời giải bằng quy nạp.
Ta chứng minh:

[You must be registered and logged in to see this image.]

Thử với n =1, n = 2, n = 3 đúng.
Giả sử đúng với n=k, Chứng minh đúng với n=k+1

[You must be registered and logged in to see this image.]

Điều phải chứng minh.

Tính tổng:
[You must be registered and logged in to see this image.]
Có một cách lấy đạo hàm của tổng các số mũ. Nhưng ở đây giới thiệu cách giải khác.

[You must be registered and logged in to see this image.]

Bài này do Lê Đình và Lưu Tuấn đưa ra, không biết lấy ở đâu:
Tính tổng:
S= 1x2x3 + 2x3x4+...+n(n+1)(n+2)

Ta thấy tổng:
[You must be registered and logged in to see this image.]

Đạo hàm của M 2 lần sẽ có được, tức là N=M" sẽ được:
[You must be registered and logged in to see this image.]

Bây giờ ta cho x=1, sẽ nhận được:
[You must be registered and logged in to see this image.]

Mà ta luôn có:
[You must be registered and logged in to see this image.]

Đạo hàm M 3 lần rồi khử x ta nhận được: (À phải nói thêm để mọi người biết là đạo hàm thì không phải đặt điều kiện mẫu số bằng 0 đâu nhen, nó tịnh tiến mà đại loại là lim, nên có thể đạo hàm bất cứ thương nào mà không phải đặt điều kiện)

Bạn nào tính giúp, nay đang trực nên chưa có thời gian tính đạo hàm trên (3 lần nhé).

Thấy mấy bài tập có dính đến lượng giác, nên cũng liệt kê vài cái tổng cơ bản lượng giác ra để áp dụng, nhưng trước khi áp dụng nói qua để các bạn nhớ:
S = cos(x) + cos(2x) + cos(3x) +...+cos(2nx)
Tại sao phải lấy tới 2n số → để nó tròn, đỡ phải viết loằng ngoằng cái phân số ở trong đối số.
Biến đổi tổng cos thế nào?
Lấy phần tử đầu tiên cộng phần tử cuối cùng. Lấy phần tử thứ 2 cộng phần tử gần cuối. Giống như làm với cấp số cộng ý. Tại sao làm thế á? Bởi vì nó là các số không đổi. Nghĩa là sao?
Nghĩa là thế này.
Hồi bé ta đi học, cô giáo dạy bài về cộng lượng giác:
cốt cộng cốt là 2 cốt cốt
cốt trừ cốt là trừ 2 sin sin
sin cộng sin là hai sin cốt
sin trừ sin là hai cốt sin
ở đây, hai cốt cốt nghĩa là cos thứ nhất được thành lập bằng cách lấy 2 đối số của 2 cos nguồn, cộng lại chia 2. cos thứ 2 được thành lập bằng cách lấy 2 đối số của 2 cos nguồn trừ nhau chia 2. (Lấy đối số nào trừ đối số nào cũng được, vì cốt đối sin bù, cốt của an pha và trừ an pha như nhau)
[You must be registered and logged in to see this image.]


Quay lại bài tính tổng cos. Lấy theo cặp ở trên ta sẽ đều được giá trị chung là:

[You must be registered and logged in to see this image.]

Có n cặp mỗi cặp bằng 2M, thì S chỉ việc lấy 2M nhân n thôi.
S = cos(x) + cos(2x) + cos(3x) +...+cos(2nx) = 2Mn = 2n.cos((n+1)x)cos((n-1)x)

Cái công thức danh sách cos anh tô màu và dùng nhiều dấu ngoặc thế, khó nhìn lắm. Theo em, anh nên viết và tô màu như thế này cho nó rõ từng phần tử ra, hình như anh làm sai từ giá trị M, M phải là giá trị cos(2n+1)x/2cos(2n-1)x/2 chứ, nên:
S = cosx+ cos2x+ cos3x ... +cos2nx= 2n.cos(2n +1)x/2cos(2n-1)x/2

Khi đó các anh chị sử dụng trong bài thì dùng thế nào cũng được. Thế nhưng trường hợp trên chỉ đúng khi dãy S có 2n phần tử, tức là chẵn, đủ để tạo ra n cặp. Còn phải viết thêm nếu S có số phần tử là lẻ nữa, khi đó sẽ phải cộng thêm phần tử ở giữa dãy cos(n +1)x với kết quả:
S = cosx +cos2x +cos3x ... +cos(2n+ 1)x= 2n.cos(n +1)xcos(2n-1)x +cos(n +1)x
S= cos(n +1)x(2ncos(2n-1)x +1)

Tương tự, ta có cách viết luôn với sin với số phần tử của S là lẻ:
S = sinx +sin2x +sin3x ... +sin(2n +1)x= 2n.sin(n +1)xcos(2n-1)x +sin(n +1)x
S= sin(n +1)x(2ncos(2n-1)x +1)

Với số phần tử của S là chẵn:
S = sinx+ sin2x+ sin3x ... +sin2nx= 2n.sin(2n +1)x/2cos(2n-1)x/2

Kiếm được chuyên đề hội thảo giáo viên giỏi của Bộ Giáo dục chia sẻ cho mọi người đây.

[You must be registered and logged in to see this link.]

Tác giả có dùng một số từ viết tắt: CSC - Cấp số cộng, CSN - Cấp số nhân, CTTQ - Công thức tổng quát.

[You must be registered and logged in to see this link.]

2.Tính tổng:
[You must be registered and logged in to see this image.]

Ta có:
xⁿ⁺¹ - 1ⁿ⁺¹ = (x - 1)(1 + x² + ... + xⁿ)

Hay:
[You must be registered and logged in to see this image.]

Đạo hàm 2 vế, vế , khi đó vế phải bằng:
[You must be registered and logged in to see this image.]

Khách viếng thăm nghĩ sao, khi thay x = -3 vào xem sao. Thay xong rồi, thay việc tính vế bên phải thì Khách viếng thăm hãy tính vế bên trái nha.
Khách viếng thăm tự làm tiếp đi nha. [You must be registered and logged in to see this link.]

Admin đã viết:Tính tổng lập phương của (2n-1) số tự nhiên lẻ liên tiếp.
Đây là lời giải bằng quy nạp.
Ta chứng minh:

[You must be registered and logged in to see this image.]

Thử với n =1, n = 2, n = 3 đúng.
Giả sử đúng với n=k, Chứng minh đúng với n=k+1

[You must be registered and logged in to see this image.]

Điều phải chứng minh.

cách anh cho em hỏi chút: ở bước biến đổi thứ 5 làm sao mình có thể đưa về 2(n+1)⁴

Gửi Thu Trang!
[You must be registered and logged in to see this image.]

Anh Đức Anh!
Em không hiểu: Từ đâu mà mình có (1) vậy anh? cả bước trên nữa ?

Đơn giản mà Em....
Em cứ hiểu nôm na như thế này nhé!
S1 = 1 + 3 + 5 + 7 + . . . . + (2n - 1)
S2 = 2 + 4 + 6 + 8 + . . . . + 2n
=> S = S1 +S2 = 1 +2+ 3+ 4+ . . . . (2n - 1) + 2n
=> S1 + (2 + 4 + 6 + 8 + . . . . + 2n) = 1 +2+ 3+ 4+ . . . . (2n - 1) + 2n