Bài 8: Có bao nhiêu xâu nhị phân chứa đúng 5 số 0 và mười bốn số 1 và ngay sau mỗi số 0 nhất thiết là hai số 1?
Giải
Mỗi xâu nhị phân theo đầu bài chứa 5 cặp 011 và 4 số 1 đứng xen kẽ bất kì.

Nếu coi:
- Mỗi cặp 011 là một phần tử: Phần tử A → Vì đề bài yêu cầu 5 cặp số 011 → Có 5 phần tử A
- Mỗi số 1 cũng là một phần tử: Phần tử B → Vì đề bài đã cho có 14 chữ số 1 (Trừ đi 10 chữ số 1 nằm trong 5 phần tử A rồi) nên phần tử B còn 4 chữ số 1.

Thì trong một cách xếp xâu nhị phân có tất cả 9 phần tử. Như vậy mỗi cách xếp xâu nhị phân thỏa măn điều kiện bài toán là một hoán vị có lặp của 9 phần tử trong đó có 5 phần tử A và 4 phần tử B. Hay nói cách khác là tổ hợp chập 5 của 9 phần tử, Vậy số xâu nhị phân thỏa mãn điều kiện bài toán là

[You must be registered and logged in to see this image.]

Bài 22: Có bao nhiêu xâu 20 chữ số của hệ thập phân chứa đúng 2 số 0, bốn chữ số 1, ba chữ số 2, một chữ số 3, hai chữ số 4, ba chữ số 5, hai chữ số 7 và 3 chữ số 9?

Giải
Xét tất cả các trường hợp (kể cả số 0 đứng đầu xâu) 20 chữ số thì mỗi cách sắp xếp xâu 20 chữ số thì:
- Tổng số: 20 vị trí. → n=20
Trong đó:
- 2 vị trí chứa số 0 → k1=2
- 4 vị trí chứa số 1 → k2=4
- 3 vị trí chứa số 2 → k3=3
- 1 vị trí chứa số 3 → k4=1
- 2 vị trí chứa số 4 → k5=2
- 3 vị trí chứa số 5 → k6=3
- 2 vị trí chứa số 7 → k7=2
- 3 vị trí chứa số 9 → k8=3

Là một hoán vị có lặp của 20 phần tử gồm các phần tử nêu trên. Vậy số cách sắp xếp xâu 20 chữ số, theo công thức tính ta có:

[You must be registered and logged in to see this image.]

Nhưng vì xâu 20 chữ số ở dạng thập phân, nên những xâu có số 0 ở đầu xâu vô nghĩa (do bỏ đi thì xâu không đủ 20 chữ số) phải trừ ra. Để đếm số trường hợp phải trừ ra này thì xét trường hợp xâu có số 0 đứng đầu. Giống như xét trong 19 vị trí còn lại, ta có:
- Tổng số có 19 vị trí → n=19
- 1 vị trí chứa số 0 → k1=1
- 4 vị trí chứa số 1 → k2=4
- 3 vị trí chứa số 2 → k3=3
- 1 vị trí chứa số 3 → k4=1
- 2 vị trí chứa số 4 → k5=2
- 3 vị trí chứa số 5 → k6=3
- 2 vị trí chứa số 7 → k7=2
- 3 vị trí chứa số 9 → k8=3

Vậy số trường hợp phải loại với 1 số 0 đứng đầu là:

[You must be registered and logged in to see this image.]

nhưng trong 19 chữ số của X₁ trên vẫn còn trường hợp số 0 đứng đầu. (Xét về tổng quát thì phải trừ đi tiếp, nghĩa là phải trừ tiếp trường hợp X có 2 số 0 đứng đầu.
Ta lại xét tương tự:
trong 198 vị trí còn lại, ta có:
- Tổng số có 18 vị trí → n=18
- 4 vị trí chứa số 1 → k1=4
- 3 vị trí chứa số 2 → k2=3
- 1 vị trí chứa số 3 → k3=1
- 2 vị trí chứa số 4 → k4=2
- 3 vị trí chứa số 5 → k5=3
- 2 vị trí chứa số 7 → k6=2
- 3 vị trí chứa số 9 → k7=3

Ta có công thức:
[You must be registered and logged in to see this image.]

Số xâu 20 chữ số hệ thập phân thỏa mãn đk đầu bài là:

[You must be registered and logged in to see this image.]
Việc còn lại các bạn tự rút gọn và tính.
Lê Văn Đạt

Ta có:
[You must be registered and logged in to see this image.]

Do 20! = 18! * 19 * 20 nên → X=19*20*X₂/2!

Do 19! = 18! * 19 nên → X₁=2*19*20*X₂

Vậy kết quả:

KQ = 19*10*X₂ - 19*X₂ - X2

KQ=X₂( 19*10 - 19 - 1) = 170 * X₂

Thay số:
[You must be registered and logged in to see this image.]