ĐỒ THỊ EULER VÀ ĐỒ THỊ HAMILTON

Chúng ta sẽ nghiên cứu hai dạng đồ thị đặc biệt là đồ thị Euler và đồ thị Hamilton. Dưới đây, nếu không có giải thích bổ sung, thuật ngữ đồ thị được dùng để chỉ chung đa đồ thị vô hướng và có hướng, và thuật ngữ cạnh sẽ dùng để chỉ chung cạnh của đồ thị vô hướng cũng như cung của đồ thị có hướng.

1. ĐỒ THỊ EULER
[You must be registered and logged in to see this image.] Định nghĩa
1. Chu trình đơn trong đồ thị G đi qua mỗi cạnh của nó một lần được gọi là chu trình Euler. Đường đi đơn trong G đi qua mỗi cạnh của nó một lần được gọi là đường đi Euler. Đồ thị được gọi là đồ thị Euler nếu nó có chu trình Euler, và gọi là đồ thị nửa Euler nếu nó có đường đi Euler.

Rõ ràng mọi đồ thị Euler luôn là nửa Euler, nhưng điều ngược lại không luôn đúng.
[You must be registered and logged in to see this image.] Thí dụ 1. Đồ thị G₁ trong hình 1 là đồ thị Euler vì nó có chu trình Euler a, e, c, d, e, b, a. Đồ thị G₃ không có chu trình Euler nhưng nó có đường đi Euler a, c, d, e, b, d, a, b, vì thế G₃ là đồ thị cửa Euler. Đồ thị G₂ không có chu trình cũng như đường đi Euler.

[You must be registered and logged in to see this image.]
Hình 1. Đồ thị G₁, G₂, G₃

[You must be registered and logged in to see this image.] Thí dụ 2. Đồ thị H₂ trong hình 2 là đồ thị Euler vì nó có chu trình Euler a, b, c, d, e, a. Đồ thị H₃ không có chu trình Euler nhưng nó có đường đi Euler c, a, b, c, d, b vì thế H₃ là đồ thị nửa Euler. Đồ thị H₁ không có chu trình cũng như đường đi Euler.

[You must be registered and logged in to see this image.]
Hình 2. Đồ thị H₁, H₂, H₃

Điều kiện cần và đủ để một đồ thị là một đồ thị Euler được Euler tìm ra vào năm 1736 khi ông giải quyết bài toán hóc búa nổi tiếng thế giới thời đó về bảy cái cầu ở thành phố Konigsberg và đây là định lý đầu tiên của lý thuyết đồ thị.
[You must be registered and logged in to see this image.] Định lý 1 (Euler). Đồ thị vô hướng liên thông G là đồ thị Euler khi và chỉ khi mọi đỉnh của G đều có bậc chẵn.
Để chứng minh định lý trước hết ta chứng minh bổ để:
[You must be registered and logged in to see this image.] Bổ đề. Nếu bậc của mỗi đỉnh của đồ thị G không nhỏ hơn 2 thì G chứa chu trình.
Chứng minh.
Nếu G có cạnh lặp thì khẳng định của bồ đề là hiển nhiên. Vì vậy giả sử G là đơn đồ thị. Gọi v là một đỉnh nào đó của G. Ta sẽ xây dựng theo qui nạp đường đi
trong đó v₁ là đỉnh kề với v, còn với i ≥ 1 chọn v_{i +1} ≠ v_i-l (có thể chọn v _i+1 như vậy là vì deg(vi) ≥ 2). Do tập đỉnh của G là hữu hạn , nên sau một số hữu hạn bước ta phải quay lại một đỉnh đã xuất hiện trước đó. Gọi đỉnh đầu tiên như thế là v_k. Khi đó, đoạn của đường đi xây dựng nằm giữa hai đỉnh vk là 1 chu trình cần tìm.
Chứng minh định lý:
[You must be registered and logged in to see this image.] Cần. Giả sử G là đồ thị Euler tức là tồn tại chu trình Euler P trong G. Khi đó cứ mỗi lần chu trình P đi qua một đỉnh nào đó của G bậc của đỉnh đó tăng lên 2. Mặt khác mỗi cạnh của đồ thị xuất hiện trong P đúng một lần, suy ra mỗi đỉnh của đồ thị đều có bậc chẵn.
[You must be registered and logged in to see this image.] Đủ. Quy nạp theo số đỉnh và số cạnh của G. Do G liên thông và deg(v) là số chẵn nên bậc của mỗi đỉnh của nó không nhỏ hơn 2. Từ đó theo bổ đề G phải chứa chu trình C. Nếu C đi qua tất cả các cạnh của G thì nó chính là chu trình Euler. Giả sử C không đi qua tất cả các cạnh của G. Khi đó loại bỏ khỏi G tất cả các cạnh thuộc C ta thu được một đồ thị mới H vẫn có bậc là chẵn. Theo giả thiết qui nạp, trong mỗi thành phần liên thông của H điều tìm được chu trình Euler. Do G là liên thông nên trong mỗi thành phần của H có ít nhất một đỉnh chung với chu trình C. Vì vậy, ta có thể xây dựng chu trình Euler trong G như sau: bắt đầu từ một đỉnh nào đó của chu trình C, đi theo các cạnh của C chừng nào chưa gặp phải đỉnh không cô lập của H. Nếu gặp phải đỉnh như vậy ta sẽ đi theo chu trình Euler của thành phần liên thông của H chứa đỉnh đó. Sau đó lại tiếp tục đi theo cạnh của C cho đến khi gặp phải đỉnh không cô lập của H thì lại theo chu trình Euler của thành phần liên thông tương ứng trong H... v.v… (xem hình 3). Quá trình sẽ kết thúc khi ta trở về đỉnh xuất phát, tức là thu được chu trình đi qua mỗi cạnh của đồ thị đúng một lần.

Hình 3. Minh hoạ cho chứng minh định lý 1.

Hệ quả 2. Đồ thị vô hướng liên thông G là nửa Euler khi và chỉ khi nó có không quá 2 đỉnh bậc lẻ.
Chứng minh. Thực vậy , nếu G có không quá 2 đỉnh bậc lẻ thì số đỉnh bậc lẻ của nó chỉ có thể là 0 hoặc 2. Nếu G không có đỉnh bậc lẻ thì theo định lý 1, nó là đồ thị Euler. Giả sử G có 2 đỉnh bậc lẻ là u và v. Gọi H là đồ thị thu được từ G bằng cách thêm vào G một đỉnh mới w và hai cạnh (w,u) và(w,v). Khi đó tất cả các đỉnh của H điều có bậc chẵn, vì thế theo định lý 1, nó có chu trình Euler C. Xoá bỏ khỏi chu trình này đỉnh w và hai cạnh kề nó ta thu được đường đi Euler trong đồ thị G.
Giả sử G là đồ thị Euler, từ chứng minh định lý ta có thủ tục sau để tìm chu trình Euler trong G.

Procedure Euler_Cycle; STACK:=Ø ; CE:=Ø ; Chon u la mot dinh nao do cua do thi; STACK← u; While STACK ≠ Ø do           X:=top(STACK); (* x la phan tu dau STACK)           If Ke(x) ≠ Ø then                     Y:=dinh dau tien trong danh sach Ke(x);                     STACK← y; (* loai bo canh (x,y) khoi do thi *)                     Ke(x):=Ke(x)[You must be registered and logged in to see this image.]{ y} ;                     Ke(y):=Ke(y)[You must be registered and logged in to see this image.]{ x} ;           Else                     x← STACK; CE← x;

Giả sử G là đồ thị Euler, thuật toán đơn giản sau đây cho phép xác định chu trình Euler khi làm bằng tay.
Thuật toán Flor
Xuất phát từ một đỉnh u nào đó của G ta đi theo các cạnh của nó một cách tuỳ ý chỉ cần tuân thủ 2 qui tắc sau:
(1) Xoá bỏ cạnh đã đi qua đồng thời xoá bỏ cả những đỉnh cô lập tạo thành.
(2) Ở mỗi bước ta chỉ đi qua cầu khi không còn cách lựa chon nào khác.
Chứng minh tính đúng đắn của thuật toán.
Trước tiên ta chỉ ra rằng thủ tục trên có thể thực hiện ở mỗi bước. Giả sử ta đi đến một đỉnh v nào đó, khi đó nếu v ≠ u thì đồ thị con còn lại H là liên thông và chứa đúng hai đỉnh bậc lẻ là v và u. Theo hệ quả trong H có đường đi Euler P từ v tới u. Do việc xoá bỏ cạnh đầu tiên của đường đi P không làm mất tính liên thông của H, từ đó suy ra thủ tục có thể thực hiện ở mỗi bước. Nếu v = u thì lập luận ở trên sẽ vẫn đúng chừng nào vẫn còn cạnh kề với u.
Như vậy chỉ còn phải chỉ ra thủ tục trên dẫn đến đường đi Euler. Thực vậy trong G không thể còn cạnh chưa đi qua khi mà ta sử dụng cạnh cuối cùng kề với u (trong trường hợp ngược lại, việc loại bỏ một cạnh nào đó kề với một trong số những cạnh còn lại chưa đi qua sẽ dẫn đến một đồ thị không liên thông, và điều đó là mâu thuẫn với giả thiết ii).
Chứng minh tương tự như trong định lý 1 ta thu được kết quả sau đây cho đồ thị có hướng.
[You must be registered and logged in to see this image.] Định lý 2. Đồ thị có hướng liên thông mạnh là đồ thị Euler khi và chỉ khi

2. ĐỒ THỊ HAMILTON
Trong mục này chúng ta xét bài toán tương tự như trong mục trước chỉ khác là ta quan tâm đến đường đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị, mỗi đỉnh đúng một lần. Sự thay đổi tưởng chừng như là không đáng kể này trên thực tế đã dẫn đến sự phức tạp hoá vấn đề cần giải quyết.
[You must be registered and logged in to see this image.] Định nghĩa 2. Đường đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị mỗi đỉnh đúng một lần được gọi là đường đi Hamilton. Chu trình bắt đầu từ một đỉnh v nào đó qua tất cả các đỉnh còn lại mỗi đỉnh đúng một lần rồi quay trở về v được gọi là chu trình Hamilton. Đồ thị G được gọi là đồ thị Hamilton nếu nó chứa chu trình Hamilton và gọi là đồ thị nữa Hamilton nếu nó có đường đi Hamilton.
Rõ ràng đồ thị Hamilton là nửa Hamilton, nhưng điều ngược lại không còn đúng.
[You must be registered and logged in to see this image.] Thí dụ 3. Trong hình 4: G₃ là Hamilton, G₂ là nửa Hamilton còn G₁ không là nửa Hamilton.

[You must be registered and logged in to see this image.]
Hình 4. Đồ thị Hamilton G₃, nửa Hamilton G₂ , và G_1.

Cho đến nay việc tìm một tiêu chuẩn nhận biết đồ thị Hamilton vẫn còn là mở, mặc dù đây là một vấn đề trung tâm của lý thuyết đồ thị. Hơn thế nữa, cho đến nay cũng chưa có thuật toán hiệu quả để kiểm tra một đồ thị có là Hamilton hay không. Các kết quả thu được phần lớn là điều kiện đủ để một đồ thị là đồ thị Hamilton. Phần lớn chúng điều có dạng "nếu G có số cạnh đủ lớn thì G là Hamilton". Một kết quả như vậy được phát biểu trong định lý sau đây.
[You must be registered and logged in to see this image.] Định lý 3 (Dirak 1952). Đơn đồ thị vô hướng G với n > 2 đỉnh, mỗi đỉnh có bậc không nhỏ hơn n/2 là đồ thị Hamilton. Chứng minh:
Thêm vào đồ thị G k đỉnh mới và nối chúng với tất cả các đỉnh của G. Giả sử k là số nhỏ nhất các đỉnh cần thêm vào để cho đồ thị thu được G’ là đồ thị Hamilton. Ta sẽ chỉ ra rằng k = 0. Thực vậy, giả sử ngược lại là k >0. Ký hiệu

v, p, w, . . ., v

là chu trình Hamilton trong G’, trong đó v, w là đỉnh của G còn p là một trong số các đỉnh mới. Khi đó w không kề với v vì nếu ngược lại, ta không cần sử dụng p và điều đó là mâu thuẫn với giả thiết k nhỏ nhất. Hơn thế nữa đỉnh (w’ chẳng hạn) kề với w không thể đi liền sau đỉnh v’ (kề với v) vì rằng khi đó có thể thay
v → p → w → . . . → v’→ w’ → . . . → v
bởi v → v’→ . . . → w→ w’ → . . . → v bằng cách đảo ngược đoạn của chu trình nằm giữa w và v’. Từ đó suy ra là số đỉnh của đồ thị G’ không kề với w là không nhỏ hơn số đỉnh kề với v (tức là ít nhất cũng là bằng n/2 k), đồng thời số đỉnh của G’ kề với w ít ra là phải bằng n/2 k. Do không có đỉnh nào của G’ vừa không kề, lại vừa kề với w, cho nên tổng số đỉnh của đồ thị G’ (G’ có n + k đỉnh) không ít hơn n + 2k. Mâu thuẫn thu được đã chứng minh định lý.
Định lý sau là tổng quát hoá của định lý Dirak cho đồ thị có hướng:
[You must be registered and logged in to see this image.] Định lý 4.

Giả sử G là đồ có hướng liên thông với n đỉnh. Nếu

deg (v) ≥ n/2, deg ^– (v) ≥ n/2, [You must be registered and logged in to see this image.] v

thì G là Hamilton.

Có một số dạng đồ thị mà ta có thể biết khi nào là đồ thị Hamilton. Một ví dụ như vậy là đồ thị đấu loại. Đồ thị đấu loại là đồ thị có hướng mà trong đó hai đỉnh bất kỳ của nó được nối với nhau bởi đúng một cung. Tên đấu loại xuất hiện như vậy vì đồ thị như vậy có thể dùng để biểu diễn kết quả thi đấu bóng chuyền, bóng bàn hay bất cứ một trò chơi nào mà không cho phép hoà. Ta có định lý sau:
[You must be registered and logged in to see this image.] Định lý 5.
i) Mọi đồ thị đấu loại là nửa Hamilton.
ii) Mọi đồ thị đấu loại liên thông mạnh là Hamilton.
[You must be registered and logged in to see this image.] Thí dụ 4. Đồ thị đấu loại D₅, D₆ được cho trong hình 5.

Hình 5. Đồ thị đấu loại D₅, đấu loại liên thông mạnh D₆

Thuật toán liệt kê tất cả các chu trình Hamilton của đồ thị
Thuật toán sau đây được xây dựng dựa trên cơ sở thuật toán quay lui cho phép liệt kê tất cả các chu trình Hamilton của đồ thị.

Procedure Hamilton(k); (* liet ke cac chu trinh Hamilton thu duoc bang viec phat trien day dinh (X[1],. . . , X[k-1]) cua do thi G=(V,E) cho boi danh sach ke: Ke(v), vÎ V *) for y Э Ke(X[k-1]) do           if (k = N +1) and (y = v0) then Ghinhan(X[1],. . . , X[n], v0)           else                     if Chuaxet[y] then                               X[k]:=y;                               Chuaxet[y]:=false;                               Hamilton(k 1);                               Chuaxet[y]:=true; (* Main program*) for v Э V do Chuaxet[v]: = true;           X[1] := 0; (* v0 la mot dinh nao do cua do thi *)           Chuaxet[v0]:=false;           Hamilton(2);

[You must be registered and logged in to see this image.] Thí dụ 5. Hình 6 dưới đây mô tả cây tìm kiếm theo thuật toán vừa mô tả.

Hình 6. Đồ thị và cây liệt kê chu trình Hamilton của nó theo thuật toán quay lui

Trong trường hợp đồ thị có không quá nhiều cạnh thuật toán trên có thể sử dụng để kiểm tra đồ thị có phải là Hamilton hay không.