Cho dãy số được xác định theo công thức truy hồi sau:
hãy:
a. Tính giá trị của [You must be registered and logged in to see this image.]
b. Tìm công thức tường minh để biểu diễn [You must be registered and logged in to see this image.]

Nghe nói nhiều đến hệ thức truy hồi. Nay ta thử khám phá trước xem. Bởi vì tốc độ của thầy dạy với những người học lớn tuổi như chúng tôi thường rất nhanh, nên chi bằng ta học trước một tý. Khi lên lớp, dù thầy có phi nước đại thì còn kịp mà hình dung.
Dạng bài tập của Hệ thức truy hồi trong các đề thi là như thế này. Đề thi câu 2 năm 2009.
Cho dãy số a_o = 5, a₁ = 8...
a_n=3a_n-1 - 2a_n-2

a. Tìm công thức biểu diễn a_n theo n.
b. Tìm n tối thiểu để a_n ≥ 100.

Cách giải bài toán này thứ tự như sau. Đây là bình giải, không phải lời giải nhen.

1. Xác định các chỉ số của phương trình đặc trưng:
Chỉ số này tìm thấy ở công thức tính a_n. Ta thấy a_n=3a_n-1 - 2a_n-2
Bạn nhìn thấy 2 con số tô đỏ chưa. Đó là các hệ số c₁ và c₂ của phương trình đặc trưng hệ thức truy hồi.
Hệ thức truy hồi của bài toán dạng này là r² - c₁r + c₂ = 0
2. Điền các hệ số trên vào hệ thức truy hồi. Rồi viết vào bài làm, câu sau:
Phương trình đặc trưng của hệ thức truy hồi này có dạng r² - 3r + 2 = 0

Phải giải phương trình hệ thức truy hồi trên để lấy nghiệm. Nghiệm này giải ở giấy nháp thôi, trừ trường hợp đặc biệt mới phải làm vào giấy thi vì không cần thiết. Sau đó viết vào bài làm câu thứ 2 hai nghiệm r₁ và r₂ như sau:
Nghiệm của phương trình hệ thức truy hồi này là 1 và 2.

Sau đó căn cứ vào nghiệm này chỉ ra phương trình truy hồi của phần tử thứ n, không phụ thuộc vào các phần tử khác, mà chỉ phụ thuộc vào chỉ số n mà thôi. Ở bài toán này ta vừa tìm ra hai nghiệm, nên viết tiếp câu thứ 3 vào bài làm:
Theo định lý về hệ thức truy hồi, dãy {a_n} là nghiệm của hệ thức truy hồi khi và chỉ khi:
→ 2ⁿ ≥ (100 - 2)/3 > 32 → 2ⁿ > 2⁵ → n > 5

Tương tự hướng dẫn chi tiết trên, hãy giải các bài toán sau:
Đề số 3, câu 2. Năm 2008.
Cho dãy số a_o = 2, a₁ = 4,...
a_n=2a_n-1 + 2a_n-2

a. Tìm công thức biểu diễn a_n theo n.
b. Tính a₁₀

Đề số 3, câu 2. Năm 2010. Đề luyện.
Giải các hệ thức truy hồi sau biết a_o = 2, b₀ = 1,...
a_n= 3a_n-1 + 2b_n-1
b_n= a_n-1 + 3b_n-1

Đề số 4, câu 2. Năm 2010. Đề luyện.
Giải hệ thức truy hồi sau biết a_o = 1, a1 = 2,...
a_n= 5a_n-1 - 6a_n-2 - 2

Đề số 6, câu 2. Năm 2010. Đề luyện.
Cho dãy số a_o = 1, a₁ = 2,a₂ = 3...
a_n=3a_n-2 + 2a_n-3

a. Tìm công thức biểu diễn a_n theo n.
b. Tìm n tối thiểu để a_n ≥ 100.

Giải thử một số đề đặc biệt.
Cho dãy số a_o = 1, a₁ = 2,a₂ = 3...
a_n=3a_n-2 + 2a_n-3

a. Tìm công thức biểu diễn a_n theo n.
b. Tìm n tối thiểu để a_n ≥ 100.

Bài này khác bài mẫu ở chỗ, công thức của a_n=3a_n-2 + 2a_n-3 không có liên quan đến a_n-1, nên rất dễ nhầm lẫn.
Vì truy cập xuống tới a_n-3 nên Phương trình đặc trưng của hệ thức truy hồi này có dạng r³ - 3r - 2 = 0
Lưu ý là xuống tới bao nhiêu phần tử thì số mũ của r sẽ lên bấy nhiêu luỹ thừa. Nghiệm của phương trình hệ thức truy hồi này là -1, -1 và 2.
Theo định lý về hệ thức truy hồi, dãy {a_n} là nghiệm của hệ thức truy hồi khi và chỉ khi:
[You must be registered and logged in to see this image.]

Hay thay số ta được:
[You must be registered and logged in to see this image.]

Để xác định các hằng số này, ta thay vào các giá trị đầu để nhận được hệ phương trình cần giải:
Thay vào các giá trị đầu ta được hệ phương trình là:
[You must be registered and logged in to see this image.]

Thay kết quả vào được:
[You must be registered and logged in to see this image.]

b. a_n ≥ 100 khi vế phải ≥ 100. Đây là bất đẳng thức thuần tuý, ai cũng có thể giải được.

Em có ý kiến thế này vì thấy hầu như tất cả các sách giáo khoa và trợ giúp về hệ thức truy hồi thường được viết rất cẩu thả và cũng thiếu trách nhiệm nữa. Tại sao em nói vậy, vì nhiều vấn đề tương tự họ nói cặn kẽ hơn nhiều.
Này nhé, khi nói về phương trình đặc trưng có dạng ví dụ như bài trên là: r² - 3r + 2 = 0
giải ra có 2 nghiệm đúng không. Lẽ ra theo thông thường thì nghiệm bé hơn phải là r1. Thế nhưng các lời giải của các sách lại áp dụng nghiệm bé hơn là r₂. Thậm chí cùng một sách lúc thì lấy r₁ nhỏ hơn, lúc thì lấy r₂ nhỏ hơn. Điều này dẫn tới hệ thức truy hồi với an bị đảo lộn. Và những người mới học sẽ thấy là một mớ bòng bong không giải thích được. Em không biết sách của các anh viết về hệ thức truy hồi có nói rõ vấn đề này không. Mặt khác, phương trình đặc trưng của hệ thức truy hồi khi tìm r, nếu là bậc 2 thì sẽ xảy ra 3 trường hợp. Có 2 nghiệm, có nghiệm kép và vô nghiệm (mà em cũng nói luôn là vô nghiệm, nhưng vẫn phải chuyển về sin và cos để giải đấy nhé vẫn đưa ra được kết quả bình thường). Nhưng nhiều sách vô trách nhiệm ở chỗ bỏ lửng, giống như đưa người ta ra giữa biển rồi bỏ mặc cho xoay sở tiếp.
Thứ hai nữa là phương trình đặc trưng có thể là bậc 3, bậc 4... khi đó việc giải nó là cả một vấn đề. Chỉ nói riêng bậc 3 thoi cũng còn phải xét lúc thì nó có 1 nghiệm, lúc thì có 2 nghiệm (1 nghiệm là điểm cực trị của đồ thị với trục hoành, 1 điểm là điểm cắt đồ thị với trục hoành, vì đồ thị của PT bậc 3 lúc này giống chữ N xuôi ngược mà) khi đó việc gán r₁, r₂, r₃ thế nào? Liệu có cẩu thả như các sách đương đại viết hay không? Khi áp dụng cho hệ thức truy hồi An thì thay các nghiệm r vào vị trí nào cho chính xác.
Cái này các anh nhớ hỏi thầy cho rõ nhé!
Em không phải là người được học về CNTT, trình độ tin học văn phòng, cũng chịu khó học hỏi một chút, trao đổi với các anh cho có bầu bạn, nếu có gì làm phật ý thì xin bỏ qua nhé. Nếu các anh chị đồng ý, thì em cũng sẽ làm các bài tập với anh chị xem sao. Vì bạn trai em cứ nói rằng học CNTT khó lắm, em không đủ trình. Uh, kể cũng khó thật đấy.

Đề số 3, câu 2. Năm 2010. Đề luyện.
Giải các hệ thức truy hồi sau biết ao = 2, b0 = 1,...
an= 3an-1 + 2bn-1
bn= an-1 + 3bn-1
ANH CHỊ ƠI CÂU NÀY CÓ HỆ SỐ b EM CHƯA HIỂU LẮM.
ANH CHỊ GIẢI GIÚP EM MỌT VÍ DỤ VỚI?
THANKS

Giải đề số 3, câu 2. Năm 2010. Đề luyện.
Giải các hệ thức truy hồi sau biết
a_o = 2, b₀ = 1,...
a_n= 3a_n-1 + 2b_n-1 (1)
b_n= a_n-1 + 3b_n-1 (2)
Thày chưa làm mình chịu khó nghiên cứu làm bài này vậy.
Ờ, bài này có khác với tất cả các bài khác ở chỗ nó có 2 chuỗi, quan hệ đan xen với nhau. A này, b kia và ngược lại. Đan xen thì đan xen chứ,sợ gì.

Từ cái (2) ta suy ra a_{n-1 =}b_n - 3b_n-1 đúng không, thay cái vào (1) xem sao, Khách viếng thăm nhận được:
a_n = 3a_n-1 + 2b_n-1 = 3b_n - 3b_n-1 + 2b_n-1= 3b_n - 7bn-1 (3)

Ô hô, một vế có a một vế toàn b. Từ cái (3) Khách viếng thăm suy ra theo tính chất của biểu thức truy hồi a_n-1 = 3b_n-1 - 7b_n-2 (4)

Thay cái (4) vào (2) ta được:
b_n= a_n-1 + 3bn-1 = 3b_n-1 - 7b_n-2 + 3bn-1 = 6b_n-1 - 7b_n-2

Thay lòng vòng tí cho vui thôi, bản chất là Khách viếng thăm dùng phép thế của hệ phương trình mà. Khách viếng thăm có thể nhìn ngay ra cách thế, sao cho nhanh nhất. Bây giờ Khách viếng thăm hãy giải hệ thức truy hồi theo b và gửi lên đây xem nào. Tương tự Khách viếng thăm cũng có thể thế vào để có được hệ thức truy hồi theo a. Nào Khách viếng thăm giải tiếp đi cho quen nha!

em cảm ơn anh nhé.
em giải theo b rồi nhưng đến chỗ tìm hệ số anpha1, anpha2 thì em chưa biết thay thế nào?
anh gợi ý cho em đi..hiii

Ban QT: Bạn đọc kỹ lời giải 1đầu topic. Có chăng bài này là chuyển từ a thành b, và thay số liệu cho giống. Nếu không làm được thì có thể thực hiện bằng cách:
1. Chép toàn bộ bài trên ra giấy.
2. Chỗ nào có a, thì thay bằng b.
3. Thay tương ứng các số của bài toán hiện tại vào bài toán mẫu.
4. Nếu không rõ, có thể mua 1 hộp bút màu. Cái gì màu nào, thay bằng số màu đấy, không sợ nhầm màu này với màu kia. Rủ thêm một vài em bé làm cùng cho vui, nó phát hiện hộ nếu mình thay màu không chuẩn.

Các định lý đối với hệ thức truy hồi được phép áp dụng ngay:
Định lý 1:
Cho c₁, c₂ là 2 số thực.
Giả sử phương trình r₂ - c₁r - c₂ = 0 có 2 nghiệm phân biệt r₁ và r₂.
Khi đó dãy {a_n} là nghiệm của hệ thức truy hồi:
a_n = c₁a_n-1 + c₂a_n-2
khi và chỉ khi a_n = α₁r₁ⁿ + α₂r₂ⁿ với n = 1, 2, ... trong đó α₁ và α₂ là các hằng số.

Định lý 2:
Cho c₁, c₂ là 2 số thực và c₂ ≠ 0.
Giả sử phương trình r₂ - c₁r - c₂ = 0 chỉ có 1 nghiệm r_o.
Khi đó dãy {a_n} là nghiệm của hệ thức truy hồi:
a_n = c₁a_n-1 + c₂a_n-2
khi và chỉ khi a_n = α₁r_oⁿ + α₂ⁿr_oⁿ với n = 0, 1, 2, ... trong đó α₁ và α₂ là các hằng số.

Định lý 3:
Cho c₁, c₂, ..., c_k là các số thực.
Giả sử phương trình r_k - c₁r_k-1 ...- c_k = 0 có k nghiệm phân biệt r₁, r₂...., r_k.
Khi đó dãy {a_n} là nghiệm của hệ thức truy hồi:
a_n = c₁a_n-1 + c₂a_n-2 +...+ c_ka_n-k
khi và chỉ khi a_n = α₁r₁ⁿ + α₂r₂ⁿ +...+ α_kr_kⁿ với n = 0, 1, 2, ... trong đó α₁, α₂,…,α_k là các hằng số.

Định lý 4:
Cho c₁, c₂, ..., c_k là các số thực.
Giả sử phương trình r_k - c₁r_k-1 ...- c_k = 0 có t nghiệm r₁, r₂,..., rt lặp lần lượt m₁, m₂,..., m_t với:
m₁ + m₂ + ...+ m_t = k
Khi đó dãy {a_n} là nghiệm của hệ thức truy hồi:
a_n = c₁a_n-1 + c₂a_n-2 +...+ c_ka_n-k
khi và chỉ khi
a_n=
[You must be registered and logged in to see this image.]

với n = 0, 1, 2, ... trong đó α_i,j là các hằng số.

Định lý 5:
Với hệ phương trình hồi quy không thuần nhất dạng:
a_n = c₁a_n-1+ c₂a_n-2 +...+ c_ka_n-k + F(n)
Khi đó nghiệm có dạng
{a_n^(p) + a_n^(h)}

Trong đó:
a_n^(h): nghiệm của a_n = c₁a_n-1 + c₂a_n-2+...+ c_ka_n-k
a_n^(p): nghiệm riêng phương trình, có dạng hồi quy:
a_n^(p) = c₁a_n-1^(p) + c₂a_n-2^(p) +...+c_ka_n-k^(p)+ F(n)

Trong các định lý trên, định lý 5 là nguy hiểm nhất, bởi nó gây nhầm lẫn nhiều nhất. Chủ yếu khi gặp trường hợp này là phải cẩn thận, mặc dù rất đơn giản nhưng phần lớn chúng ta sẽ làm sai.
Xét các bài thi liên quan đến định lý 5.
Tìm nghiệm của hệ thức truy hồi:
a_n = 3a_n-1+2n với điều kiện đầu a₁ = 3
Cách giải:
Theo định lý 5, nghiệm có dạng
{a_n^(p) + a_n^(h)}
Ta tính từng phần một.
a_n^(h) = α3ⁿ

Với F(n) = 2n, nên nghiệm riêng có dạng: cn + d
Hơn nữa, nghiệm này thỏa mãn hệ hồi quy nên, ta có:
cn + d = 3(c(n - 1) + d) + 2n

→ (2 + 2c)n + (2d - 3c) = 0 với mọi n
→ c = -1; d = -3/2

Vậy a_n^(p) = - n - 3/2

Nghiệm của hệ hồi quy là:
a_n = {a_n^(p) + a_n^(h)} = - n - 3/2 + α3ⁿ
Bây giờ thay n =1 vào để tính α
a₁ = 3 = - 1 - 3/2 + 3α → α = 11/6

Để giải một hệ thức truy hồi, hồi quy không thuần nhất
Ví dụ mẫu: a_n = 5a_n-1 - 6a_n-2+ 7ⁿ
Với a_o = 1, a₁ = 2
Bước 1. Tách bạch hệ thức truy hồi thành 2 phần. Phần 1, chỉ liên quan đến các phần tử của hệ thức, phần 2 sẽ xử lý đối với những gì không liên quan đến các phần tử của hệ thức.
Ví dụ:
Hệ thức a_n = 5a_n-1 - 6a_n-2+ 7ⁿ sẽ bị tách ra làm 2 phần
Phần 1: Là 5a_n-1 - 6a_n-2
Phần 2: Là F(n) ở đây F(n) = 7ⁿ

Bước 2. Giải tìm hệ thức của phần 1 giống như cách giải thông thường của hệ thức truy hồi thuần nhất. Kết quả chính là phần a_n^(h)
Lý luận như thế này vào bài viết:
a_n^(h) là nghiệm của phương trình:
r² - 5r - 6 = 0 (*)
hay r₁ = 2, r₂ = 3.
Theo định lý 1 ta có:
a_n^(h) = α₁2ⁿ + α₂3ⁿ
Hết bước 2, các hệ số α vẫn chưa tính được, vẫn để ở dạng tổng quát.

Bước 3. Tìm nghiệm riêng đối với phần 2 là F(n) = 7ⁿ. Nghiệm riêng gọi là a_n^(p)

- Xác định dạng của nghiệm riêng:
+ Nếu là một hằng số, nghiệm riêng có dạng hằng số c.
+ Nếu F(n) là phương trình bậc nhất của n, nghiệm riêng có dạng c_n + d (không dùng a_n + b kẻo trùng với các phần tử a_n đang xét)
+ Nếu F(n) là phương trình bậc 2 của n, nghiệm riêng có dạng cn² + dn + e
+ Vân vân... bậc nào thì cứ điền vào bậc ấy.
+ Nếu F(n) là phương trình mũ của n, nghiệm riêng có dạng c(phương trình mũ). Ở ví dụ trên nghiệm riêng có dạng c7ⁿ.
+ Nếu ở bước 2, nghiệm trùng với cơ số mũ. Nghiệm riêng sẽ có dạng nhân với n^m trong đó m là số nghiệm của phương trình dạng * ở bước 2 trùng với cơ số mũ.
- Do nghiệm riêng thoả mãn phương trình hồi quy của định lý 5, nên ta thay vào để tìm hệ số phần nghiệm riêng này:
c7ⁿ = 5c7^n-1 - 6c7^n-2 + 7ⁿ

Tạm dừng lại ở đây phân tích đã. Phương trình này có đặc điểm gì?
+ Thứ nhất, nó được thay phần tử hệ thức truy hồi bằng dạng nghiệm riêng.
+ Thứ hai, các phần tử được biến đổi theo chỉ số n tương ứng.
+ Phương trình này có dạng đầy đủ theo đề bài ra.

- Sau khi thay xong, nhiệm vụ của ta là phải tìm các hệ số của phương trình trên. Tìm bằng cách nào:
+ Nhóm và chia
+ Đúng với mọi n thì viết dưới dạng phương trình với n, rồi cho tất cả các hệ số phương trình n này bằng 0. Giải hệ này để tìm hệ số.
+ Cụ thể bài này ta nhóm lại để tính được hệ số. Ở đây chỉ có 1 hệ số C = 49/20
Thay hệ số tìm được này vào dạng nghiệm riêng để có được a_n^(p). Trong bài tập này ta có a_n^(p) =(49/20)7ⁿ

Bước 4. Thông báo dạng nghiệm của hệ thức là dạng:
a_n = a_n^(h) + a_n^(p)
Thay kết quả của bước 3 vào. Để có biểu thức mới. Hệ số α vẫn chưa tính được vẫn để ở dạng tổng quát.
Trường hợp cụ thể bài toán này ta có:
a_n = a_n^(h) + a_n^(p)
= α₁2ⁿ + α₂3ⁿ + (49/20)7ⁿ

Bước 5.
Thay kết quả của bước 4 vào các giá trị đầu để tính các hệ số α. Tính xong các hệ số α là các số cụ thể, thì thông báo nghiệm của hệ thức truy hồi là... và viết ra hệ thức a_n phụ thuộc vào n. Viết xong, yêu cầu bài toán hoàn thành.
Nào thay thử ta có, thay n vào các giá trị đầu, a_o thay n = 0, a₁ thay n = 1:
a_o = 1 = α₁2^o + α₂3^o + (49/20)7^o
a₁ = 2 = α₁2¹ + α₂3¹ + (49/20)7¹

Giải hệ phương trình này quá đơn giản. Dành cho Khách viếng thăm thực hiện.

Admin đã viết:Bước 3. Tìm nghiệm riêng đối với phần 2 là F(n) = 7ⁿ. Nghiệm riêng gọi là a_n^(p)

- Xác định dạng của nghiệm riêng:
+ Nếu là một hằng số, nghiệm riêng có dạng hằng số c.
+ Nếu F(n) là phương trình bậc nhất của n, nghiệm riêng có dạng c_n + d (không dùng a_n + b kẻo trùng với các phần tử a_n đang xét)
+ Nếu F(n) là phương trình bậc 2 của n, nghiệm riêng có dạng cn² + dn + e
+ Vân vân... bậc nào thì cứ điền vào bậc ấy.
+ Nếu F(n) là phương trình mũ của n, nghiệm riêng có dạng c(phương trình mũ). Ở ví dụ trên nghiệm riêng có dạng c7ⁿ.
+ Nếu ở bước 2, nghiệm trùng với cơ số mũ. Nghiệm riêng sẽ có dạng nhân với n^m trong đó m là số nghiệm của phương trình dạng * ở bước 2 trùng với cơ số mũ.
- Do nghiệm riêng thoả mãn phương trình hồi quy của định lý 5, nên ta thay vào để tìm hệ số phần nghiệm riêng này:
c7ⁿ = 5c7^n-1 - 6c7^n-2 + 7ⁿ

Tạm dừng lại ở đây phân tích đã. Phương trình này có đặc điểm gì?
+ Thứ nhất, nó được thay phần tử hệ thức truy hồi bằng dạng nghiệm riêng.
+ Thứ hai, các phần tử được biến đổi theo chỉ số n tương ứng.
+ Phương trình này có dạng đầy đủ theo đề bài ra.

Anh ơi, cách đưa ra nghiệm riêng của anhchung chung quá, anh nói kỹ hơn xem căn cứ vào tài liệu nào, em tìm không thấy ở đâu hướng dẫn tìm nghiệm riêng như vậy cả.
Với dạng hệ thức truy hồi không thuần nhất này nếu là tổng của các số hạng dạng:
a₁.c₁ⁿ + a₂.c₂ⁿ +...+ a_k.c_kⁿ
thì tính và lấy thế nào khi nghiệm trùng với các cơ số ạ?
Hoặc cơ số c_k = c.x₁x₂ thì tính sao ạ?
Nếu anh không giải thích kịp thì cho em xin cái link (tiếng nước nào cũng được, vì google dịch mà) để em học tập ạ.
Thank anh.

@ HaiYen: Khi nào đi thi xong thì anh gửi link cho nhé, em thì đâu có vội gì, em nhỉ.

Nó là định lý thì cứ áp dụng thôi. Cái đoạn định lý này do thầy giáo mò ra và anh LĐS cũng căn cứ vào gợi ý của thầy mà mò tiếp ra, vì cả thầy và anh LĐS đều chưa đưa ra cách chứng minh, em à. Nếu muốn nắm rõ thì phải để anh LĐS trả lời.

Admin đã viết:Nó là định lý thì cứ áp dụng thôi. Cái đoạn định lý này do thầy giáo mò ra và anh LĐS cũng căn cứ vào gợi ý của thầy mà mò tiếp ra, vì cả thầy và anh LĐS đều chưa đưa ra cách chứng minh, em à. Nếu muốn nắm rõ thì phải để anh LĐS trả lời.

Trên mạng chưa có bất cứ một bài hướng dẫn nào về định lý 5 này. Chỉ có hướng dẫn của anh thôi. Thanks, dù sao sử dụng cái định lý mò này cũng giúp người ta giải quyết được tất cả các dạng toán truy hồi mà các trang toán khác né tránh. OK. Dù sao cũng Thank MrP, nhớ là thi xong gửi link cho em đấy!

mrP đã viết:@ HaiYen: Khi nào đi thi xong thì anh gửi link cho nhé, em thì đâu có vội gì, em nhỉ.

ha ha, mình nhất trí với bác này.
@Haiyen
Cho anh địa chỉ nhà, thi xong anh mang tất cả tài liệu đến cho. :D
Em ko thi năm nay thì việc gì phải vội vàng thế. Anh thấy em bảo không học chuyên ngành CNTT nhưng từ đầu tham gia diễn đàn đến giờ, em toàn hỏi những cái mà liên quan đến CNTT.
[You must be registered and logged in to see this image.]
Há há há. LOL

Admin đã viết:Để giải một hệ thức truy hồi, hồi quy không thuần nhất
Ví dụ mẫu: a_n = 5a_n-1 - 6a_n-2+ 7ⁿ
Với a_o = 1, a₁ = 2
Bước 1. Tách bạch hệ thức truy hồi thành 2 phần. Phần 1, chỉ liên quan đến các phần tử của hệ thức, phần 2 sẽ xử lý đối với những gì không liên quan đến các phần tử của hệ thức.
Ví dụ:
Hệ thức a_n = 5a_n-1 - 6a_n-2+ 7ⁿ sẽ bị tách ra làm 2 phần
Phần 1: Là 5a_n-1 - 6a_n-2
Phần 2: Là F(n) ở đây F(n) = 7ⁿ

Bước 2. Giải tìm hệ thức của phần 1 giống như cách giải thông thường của hệ thức truy hồi thuần nhất. Kết quả chính là phần a_n^(h)
Lý luận như thế này vào bài viết:
a_n^(h) là nghiệm của phương trình:
r² - 5r - 6 = 0 (*)
hay r₁ = 2, r₂ = 3.
Theo định lý 1 ta có:
a_n^(h) = α₁2ⁿ + α₂3ⁿ
Hết bước 2, các hệ số α vẫn chưa tính được, vẫn để ở dạng tổng quát.

Bước 3. Tìm nghiệm riêng đối với phần 2 là F(n) = 7ⁿ. Nghiệm riêng gọi là a_n^(p)

- Xác định dạng của nghiệm riêng:
+ Nếu là một hằng số, nghiệm riêng có dạng hằng số c.
+ Nếu F(n) là phương trình bậc nhất của n, nghiệm riêng có dạng c_n + d (không dùng a_n + b kẻo trùng với các phần tử a_n đang xét)
+ Nếu F(n) là phương trình bậc 2 của n, nghiệm riêng có dạng cn² + dn + e
+ Vân vân... bậc nào thì cứ điền vào bậc ấy.
+ Nếu F(n) là phương trình mũ của n, nghiệm riêng có dạng c(phương trình mũ). Ở ví dụ trên nghiệm riêng có dạng c7ⁿ.
+ Nếu ở bước 2, nghiệm trùng với cơ số mũ. Nghiệm riêng sẽ có dạng nhân với n^m trong đó m là số nghiệm của phương trình dạng * ở bước 2 trùng với cơ số mũ.
- Do nghiệm riêng thoả mãn phương trình hồi quy của định lý 5, nên ta thay vào để tìm hệ số phần nghiệm riêng này:
c7ⁿ = 5c7^n-1 - 6c7^n-2 + 7ⁿ

Tạm dừng lại ở đây phân tích đã. Phương trình này có đặc điểm gì?
+ Thứ nhất, nó được thay phần tử hệ thức truy hồi bằng dạng nghiệm riêng.
+ Thứ hai, các phần tử được biến đổi theo chỉ số n tương ứng.
+ Phương trình này có dạng đầy đủ theo đề bài ra.

- Sau khi thay xong, nhiệm vụ của ta là phải tìm các hệ số của phương trình trên. Tìm bằng cách nào:
+ Nhóm và chia
+ Đúng với mọi n thì viết dưới dạng phương trình với n, rồi cho tất cả các hệ số phương trình n này bằng 0. Giải hệ này để tìm hệ số.
+ Cụ thể bài này ta nhóm lại để tính được hệ số. Ở đây chỉ có 1 hệ số C = 49/20
Thay hệ số tìm được này vào dạng nghiệm riêng để có được a_n^(p). Trong bài tập này ta có a_n^(p) =(49/20)7ⁿ

Bước 4. Thông báo dạng nghiệm của hệ thức là dạng:
a_n = a_n^(h) + a_n^(p)
Thay kết quả của bước 3 vào. Để có biểu thức mới. Hệ số α vẫn chưa tính được vẫn để ở dạng tổng quát.
Trường hợp cụ thể bài toán này ta có:
a_n = a_n^(h) + a_n^(p)
= α₁2ⁿ + α₂3ⁿ + (49/20)7ⁿ

Bước 5.
Thay kết quả của bước 4 vào các giá trị đầu để tính các hệ số α. Tính xong các hệ số α là các số cụ thể, thì thông báo nghiệm của hệ thức truy hồi là... và viết ra hệ thức a_n phụ thuộc vào n. Viết xong, yêu cầu bài toán hoàn thành.
Nào thay thử ta có, thay n vào các giá trị đầu, a_o thay n = 0, a₁ thay n = 1:
a_o = 1 = α₁2^o + α₂3^o + (49/20)7^o
a₁ = 2 = α₁2¹ + α₂3¹ + (49/20)7¹

Giải hệ phương trình này quá đơn giản. Dành cho tieuthumeo thực hiện.

Anh ơi anh cho em hỏi:
A_n là nghiệm của
pt: r_­­^2­­­ - c­­_­1r- c­­­₂ = 0
ở đây ta có c₁=5,
c₂= - 6, vậy pt phải là r_­­^2­­­ - 5r + 6 = 0 ,
em ko rõ tại sao lại là r_­­^2­­­ - 5r - 6 = 0 hả anh?
Admin: uh. Chắc là gõ nhầm, vì nghiệm của nó là 2 và 3.

Em nghĩ, ở định lý 5 Admin đưa ra chưa chính xác. Nếu 1 nghiệm của phương trình a(n,h) = 1 mà phương trình a(n,p)có nghiệm riêng dạng cn+d=(cn+d).1ⁿ như vậy phải áp dụng pt nghiệm riêng tổng quát: (cn+d).n.1ⁿ
Các anh chị thông cảm nhé, em mới vào Forum nên add công thức còn khó khăn.

Admin: Uh có thể bạn nói cũng có nhiều ý đúng đó, nhưng định lý thì không sai đâu, chỉ có áp dụng chưa đúng thôi.
Để gõ được các chỉ số trên và dưới, bạn đừng đánh vào hộp quickreply ở dưới mà hãy chọn nút [You must be registered and logged in to see this image.] Khi đó bạn sẽ vào chế độ Full soạn thảo, sau đó muốn gõ chỉ số trên hoặc dưới, hãy bôi đen chỉ số đó, nháy vào nút Others nó sẽ liệt kê các chức năng. Chọn chỉ số trên, nó sẽ lên trên, chỉ số dưới sẽ xuống dưới.

Hiện tại có 2 nút [You must be registered and logged in to see this image.] và [You must be registered and logged in to see this image.] đã được thiết kế, nhưng chưa đặt code vào nên chưa sử dụng được. Hẹn thi xong, sẽ có thời gian chau chuốt lại diễn đàn. Bây giờ tập trung vào học thi đã nhé.

tớ gửi bài này các bạn xem jum nhé?
Giải hệ thức truy hồi:
a_n = 3a_n-1 + 2b_n-1 + 2 (1)
b_n = a_n-1 + 2b_n-1 + 1 (2)
a_o = 0;b_o = 2

Giải
ta có: a₁ = 4, b₁ = 5
từ (2) → : a_n-1 = b_n - 2b_n-1 - 1 (*)
a_n = b_n+1 - 2b_n - 1 (**)
thay (*) (**) vào (1)
b_n+1= 5b_n - 4b_n-1
→ pt dặc trưng: r² - 5r + 4

Nhờ các anh giải giúp bài này:
a_n = 5a_n-1 - 6a_n-2 - 2. Với a₀ = 0, a₁ = 2
Em làm toàn ra điều vô lý. Cảm ơn các anh nha

tranhue đã viết:tớ gửi bài này các bạn xem jum nhé?
Giải hệ thức truy hồi:
a_n = 3a_n-1 + 2b_n-1 + 2 (1)
b_n = a_n-1 + 2b_n-1 + 1 (2)
a_o = 0;b_o = 2

Giải
ta có: a₁ = 4, b₁ = 5
từ (2) → : a_n-1 = b_n - 2b_n-1 - 1 (*)
a_n = b_n+1 - 2b_n - 1 (**)
thay (*) (**) vào (1)
b_n+1= 5b_n - 4b_n-1
→ pt dặc trưng: r² - 5r + 4

ra phương trình đặc trưng r² - 5r + 4 là đúng rồi bạn

a_n = 5a_n-1 - 6a_n-2 - 2.
Với a₀=0, a₁=2, đáp án là a_n=3ⁿ-1

mrP đã viết:a_n = 5a_n-1 - 6a_n-2 - 2.
Với a₀=0, a₁=2, đáp án là a_n=3ⁿ-1

anh xem lại giúp, sao em ra a_n = 5a_n-1 - 4a_n-2 nhỉ.
Gay quá

Ban QT: Bạn kiểm tra lại các kết quả của mình bằng cách thay vào những giá trị đầu, rồi làm bằng tay xem có đúng không?

Bài: a_n = 5a_n-1 - 6a_n-2 - 2.
Với a₀=0, a₁=2, đáp án là a_n=3ⁿ-1.
Nhờ anh nêu cách giải theo a_n^(h) và a_n^(p)

Phương trình đặc trưng: r² - 5r + 6

a_n^h= k₁.2ⁿ + k₂. 3ⁿ

F(n)=2 → a_n^p=c₁

thay a_n^p vào hệ thức truy hồi a_n = 5a_n-1 - 6a_n-2 - 2 ta được c₁ = -1

a_n = k₁.2ⁿ + k₂. 3ⁿ - 1

n=0, a₀=0: k₁ + k₂ = 1
n=1, a₁=2: 2k₁ +3k₂ = 3

→ k₁ =0, k₂=1