Ta cần xem xét chi tiết hơn một chút ở bài giải này. Phải bình giảng cho rõ để mọi người nắm rõ phương pháp tư duy đối với dạng toán này.

Đề thầy ra: Trong cuộc đua ngựa có 4 con ngựa: A, B, C, D hãy đếm số trường hợp có thể xảy ra.
Để thuận tiện theo dõi, ta sẽ gọi các vị trí nhất, nhì, ba, tư là 1, 2, 3, 4. Ví dụ khi nói A1, B2 chẳng hạn, thì nghĩa là con ngựa A về nhất, con ngựa B về thứ nhì... vân vân...

Ở đây có một vấn đề, nghĩa là khi các con ngựa về cùng nhau, thì các vị trí sau sẽ bằng 0. Các vị trí trước sẽ có ưu tiên cao hơn. Ví dụ khi 2 con về cùng làm 2 loạt, như A1B1C2D2 chẳng hạn, thì chỉ chiếm vị trí 1 và 2, còn các vị trí 3 và 4 sẽ không có. Nghĩa là không bao giờ được xét dạng A3B3C4D4 là trường hợp riêng khác với trường hợp đã xét.

[quote="Tongmanhcuong"]Tôi nhận thấy các đồng chí thảo luận về bài này rất nhiều. Đây là kết quả của tôi. Xin ý kiến.[/quocte]

Rồi, bây giờ bình giảng bài của TMC.
- Trường hợp 1: Về đích có 4 vị trí, quá đơn giản, dễ hiểu mỗi con thay nhau chiếm lĩnh một vị trí. Thứ tự các con về đích chính là phép hoán vị, suy ra số cách trong trường hợp này là: 4! = 24 cách. Khỏi bàn cãi.

- Trường hợp 2: Về đích có 3 vị trí. Tối đa ở một vị trí là 2 con. Chỉ có 3 vị trí 1, 2, 3. Vị trí 4 không có.
Vị trí 1 có 4 khả năng. Tức là cả 4 con đều có thể xảy ra. A1, B1, C1, D1.
Vị trí 2 có 3 khả năng. Vì phải trừ 1 con đã ở vị trí 1 rồi. Còn lại 3 con thôi.
Vị trí 3 có 2 khả năng. Vì phải trừ 2 con đã ở vị trí 1,2 rồi. Còn lại 3 con thôi.

Tạm dừng tới đây đã. Lập luận trên có vẻ sai. Ta thử đếm thử xem nhé!
Các trường hợp có thể có ở vị trí 1: Chỉ có 1 con: A1, B1, C1, D1. Hai con cùng về: A1 B1, A1C1, A1D1, B1C1, B1D1, C1D1. Đã thấy đến 10 khả năng rồi. Trong đó có 6 trường hợp kép. 6 trường hợp về kép không đồng thời kép xảy ra với các vị trí sau. Vì không còn ngựa về vị trí đó. Tuy nhiên ta có thể dùng giao hoán về kép với các vị trí khác.

Các trường hợp có thể có ở vị trí 2: Chỉ có 1 con: A2, B2, C2, D2. (Chỉ được đếm 3 vì tối thiểu 1 con đã ở vị trí 1). Hai con cùng về: A2 B2, A2C2, A2D2, B2C2, B2D2, C2D2. Đã thấy có đến 10 khả năng rồi. Cũng có 6 trường hợp kép. 6 trường hợp về kép xảy ra khi ở vị trí 1 chỉ có 1 con (4 trường hợp), các vị trí sau này sẽ không xét kép được bởi không còn ngựa về vị trí đó.

Đến đây đã thấy đ/c TMC bỏ sót nhiều trường hợp rồi, nên không cần xét tiếp nữa biết ngay kết quả sai.
Tôi dùng máy tính liệt kê ra đây cho đỡ cãi.

Tôi làm theo cách khác. Các đ/c góp ý nhé!
1. TH1: 4 Con về cùng → 1 cách.
2. TH2: 3 Con về cùng:
- Chỉ có 2 vị trí 1 và 2: Cách chọn 3 trong 4 con là C(3,4), mà có 2 vị trí → có 2* C(3,4) = 8 cách.
3. TH3: 2 Con về cùng → có 2 TH
a. 2 Con cùng về trước, 2 con cùng về sau và TH này cũng chỉ có 2 vị trí 1 và 2:
Có C(2,4) cách chọn 2 Con cùng về → đảo vị trí nữa → có 2 * C(2,4) = 12 cách.
b. 2 Con cùng về, 2 con còn lại về 2 vị trí khác nhau → Có 3 vị trí → Số cách = Số cách chọn 2 trong 4 con * hoán
vị của 3 vị trí → Số cách = 3! * C(2,4) = 6* 6 = 36 cách
4. TH4: 4 Con về 4 vị trí → Số cách = 4! = 24 cách.
Như vậy theo nguyên lý cộng thì số cách là: 1 + 8 + 12 + 36 + 24 = 81 cách.

Theo em, bài này giải như sau:
1. TH về 4 lượt: có 4! = 24 cách
2. TH về 3 lượt:
1 2 3
số con 1 1 2 : có C(1,4)*C(1,3)*C(2,2) = 12
số con 1 2 1 : có C(1,4)*C(2,3)*C(1,1) = 12
số con 2 1 1 : có C(2,4)*C(1,2)*C(1,1) = 12
(Thực chất 3 TH là hoán vị cho nhau, có thể suy ra luôn)
→ 36 cách
3. TH về 2 lượt:
1 2
số con 1 3 : có C(1,4)*C(3,3) = 4
số con 2 2 : có 2*(C(2,4)*C(2,2)) = 12
số con 3 1 : có C(3,4)*C(1,1) = 4
→ 20 cách
4. TH về 1 lượt: có 1 cách
Vậy tổng có 81 cách.

Theo em, cách của anh Son cũng đúng rùi.

trường hợp 2,2 chỉ có 6 cách thôi nhé.

Hi. em nhầm chổ đấy.
1. TH về 4 lượt: có 4! = 24 cách
2. TH về 3 lượt:
1 2 3
số con 1 1 2 : có C(1,4)*C(1,3)*C(2,2) = 12
số con 1 2 1 : có C(1,4)*C(2,3)*C(1,1) = 12
số con 2 1 1 : có C(2,4)*C(1,2)*C(1,1) = 12
(Thực chất 3 TH là hoán vị cho nhau, có thể suy ra luôn)
→ 36 cách
3. TH về 2 lượt:
1 2
số con 1 3 : có C(1,4)*C(3,3) = 4
số con 2 2 : có (C(2,4)*C(2,2)) = 6
số con 3 1 : có C(3,4)*C(1,1) = 4
→ 20 cách
4. TH về 1 lượt: có 1 cách
Vậy tổng có 75 cách.

Có mấy người bỏ [You must be registered and logged in to see this image.] kiểu này thì chết!
Không ai dám khẳng định bài làm của mình đúng thì đưa người đọc về một mớ bòng bong. Hãy xem và trả lời ai đúng nha.