Theo nguyện vọng của anh em. Hôm nay tôi đưa lên cách giải. Anh em cho ý kiến nha. Nếu ai có ý tưởng hay cứ đưa lên.

CM: 4ⁿ⁺¹ + 5^2n-1 chia hết cho 21 với n >=1

Đặt S_n= 4ⁿ⁺¹ + 5^2n-1

Với n=1, ta có S₁= 4² + 5¹ = 21 21. Mệnh đề đúng.

Giả sử đúng với n=k (k>1), ta có S_k= 4^k+1 + 5^2k-1 21. Ta chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1. Thật vậy: S_k+1= 4^k+2 + 5^2k+1

= 4(4^k+1 + 5^2k-1) + 21.5² Mệnh đề đúng với n=k+1. Suy ra mệnh để đúng với mọi số tự nhiên n>=1.



CM: 3ⁿ + 7ⁿ – 2 chia hết cho 8 với n >=1

Giải

Đặt S_n= 3ⁿ + 7ⁿ - 2

Với n=1, ta có S₁= 3¹ + 7¹ – 2 = 8 8. Mệnh đề đúng.

Giả sử đúng với n=k (k>1), ta có S_k= 3^k + 7^k– 2 8. Ta chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1. Thật vậy: S_k+1= 3^k+1 + 7^k+1 - 2

= 3(3^k + 7^k - 2) + 4.7^k + 4. Mệnh đề đúng với n=k+1. Suy ra mệnh để đúng với mọi số tự nhiên n>=1



Trong hai bài này tôi để lại bước cuối cùng không triển khai. Anh em cố gắng nghiên cứu nhé. Nếu không được tôi sẽ trình bày lên. Tôi muốn anh êm động não một chút.

Lời giải phần 1. Topic.
[You must be registered and logged in to see this image.]

Định lý 1: Nếu hai số a và b đều chia hết cho m, thì hiệu a - b và b - a đều chia hết cho m.
Thật vậy, vì a,b đều chia hết cho m, nên tồn tại các số nguyên t,s để a = t.m và b = s.m. Do đó
a - b = tm - sm = (t-s)m
b - a = sm - tm = (s-t)m
Vì hiệu hai số nguyên đều là một số nguyên nên a - b và b - a đều chia hết cho m.
Từ đó ta suy ra hệ quả sau
Hệ quả 1: Nếu tổng một số hạng chia hết cho m và trừ một số hạng,
còn tất cả các số khác đều chia hết cho m, thì số hạng này cũng chia hết
cho m.

Chứng minh:
Gỉa sử tổng [You must be registered and logged in to see this image.] chỉ trừ [You must be registered and logged in to see this image.], còn [You must be registered and logged in to see this image.] đều chia hết cho m. Khi đó tồn tại các số nguyên
[You must be registered and logged in to see this image.] để [You must be registered and logged in to see this image.]. Và
[You must be registered and logged in to see this image.]
nên [You must be registered and logged in to see this image.] chia hết cho m.

Định lý 2. Nếu các số [You must be registered and logged in to see this image.] đều chia hết cho m thì tổng của chúng chia hết cho m

Định lý 3.Nếu mỗi số [You must be registered and logged in to see this image.] thì tích [You must be registered and logged in to see this image.]

Chứng minh các định lý
Định lý 2:
Vì [You must be registered and logged in to see this image.] chia hết cho m, nên tồn tại số nguyên [You must be registered and logged in to see this image.] để [You must be registered and logged in to see this image.]. Bởi vậy
[You must be registered and logged in to see this image.]
suy ra đpcm.

Định lý 3:

Vì [You must be registered and logged in to see this image.], nên tồn tại số nguyên [You must be registered and logged in to see this image.] để
[You must be registered and logged in to see this image.]. Khi đó [You must be registered and logged in to see this image.], suy ra đpcm.
Từ định lý 3 ta có các hệ quả sau

Hệ quả 1
Nếu a chia hết cho m, thì với số tự nhiên n tùy ý, [You must be registered and logged in to see this image.]

Hệ quả 2
Nếu chỉ một thừa số chia hết cho m, thì tích cũng chia hết cho m.
Một số bài tập:
1. Tìm mọi số nguyên dương n sao cho n là ước của [You must be registered and logged in to see this image.] và [You must be registered and logged in to see this image.]
2. (Bulgaria MO 1977) Tìm tất cả các số nguyên x sao cho [You must be registered and logged in to see this image.]

1. Theo đề bài thì d | [You must be registered and logged in to see this image.] và d | [You must be registered and logged in to see this image.], hay d | [You must be registered and logged in to see this image.].
Khi đó d | 2n+1. Suy ra d | [You must be registered and logged in to see this image.], do đó d | [You must be registered and logged in to see this image.] hay d | 4n + 7.

Cho nên d | (4n+7) – (2n + 1) hay d | 5, suy ra d chỉ có thể bằng 1 hoặc 5.

2. Ta có ([You must be registered and logged in to see this image.] + 1) | x + 8, suy ra ([You must be registered and logged in to see this image.] + 1) | [You must be registered and logged in to see this image.] + 8x, do đó
([You must be registered and logged in to see this image.] + 1) | 8x – 1, dẫn tới ([You must be registered and logged in to see this image.] + 1) | 8(x + 8) – (8x – 1), hay ([You must be registered and logged in to see this image.] + 1) | 65. Nói cách khác thì [You must be registered and logged in to see this image.] + 1 phải là ước dương của 65.
Như vậy [You must be registered and logged in to see this image.] + 1 {1, 5, 13, 65}. Từ đó dễ dàng tìm được x.

Đây là 2 bài toán tôi thấy khá hay ở chỗ, có thể dùng tính chất chia hết để giải một số bài toán theo điều kiện đã cho như tìm n, tìm x ở trên.
Phần lời giải của 2 bài ở trên là chính xác nhưng đọc hơi khó hiểu. Tôi xin viết lại như sau:


Bài 1:
Giả sử d là ước chung thì, (n²+1) và (n+1)²+1 đều phải chia hết cho d
Như vậy (n+1)²+1-(n²+1)=2n+1 cũng phải chia hết cho d
do đó: (2n+1)² = 4n²+4n+1 cũng chia hết cho d
Suy ra: 4(n²+2n+2)-(4n²+4n+1)=4n+7 chia hết cho d
như thế thì: (4n+7)-2(2n+1) = 5 chia hết cho d.
Vậy d chỉ có thể là 1 hoặc 5.


Bài 2:
Ta có: x³-8x²+2x=x(x²+1)-x(8x-1) chia hết cho x²+1 → 8x-1 chia hết x²+1
Mặt khác: x³-8x²+2x=x²(x+8)-2x(8x-1) chia hết cho x²+1 → x+8 chia hết x²+1
Vậy thì: 8(x+8)-(8x-1) chia hết cho x²+1 hay 65 chia hết cho x²+1, phần còn lại các bạn tự làm.

Chứng minh n² - 1 | 8 với mọi n lẻ

Vì n lẻ → n = 2*k +1
→ Cần phải chứng minh: (2*k +1)² - 1 | 8
Ta có: (2*k +1)² - 1 = (2*k + 1 -1) * (2*k +1 +1) = 2*k*(2*k +2) = 4*k*(k + 1)

Nhận thấy k và k+1 là 2 số nguyên liên tiếp ==> Chắc chắn có một số là số chẵn
→ k*(k+1) | 2

→ 4*k*(k+1) |8 ==> đpcm