Bài 2 trang 37.
Có bao nhiêu khả năng chọn 2 số nguyên trong các số từ 1 đến (n-1) sao cho tổng của chúng lớn hơn n.

Với n chẵn: (n-1)^2/2
Với n lẻ: (n^2 - 4n +5)/2


- Đề nghị đ/c TMCường đưa ra phương án giải
- kiểm tra lại kết quả, với n chẵn thì n-1)^2/2 có nghiệm nguyên không??
.

Giải:
cách 1: ta có a + b > n, [You must be registered and logged in to see this image.]

a =1, ta có 0 cách chọn b
a =2, có 1 cách chọn b (n-1)
a=3, có 2 cách chọn b
...
a=n-1 có n-2 cách chọn b

vậy số các khả năng để chọn cặp số (a, b) là: 1+ 2+...+ n-2 = (n-1)(n-2)/2
chú ý: nếu cần có thể c/m bổ đề: với a =k, luôn có k-1 cách chọn b sao cho a+b >n

Cách 2:
ta đưa về tìm số nghiệm nguyên của bpt: a + b >n (1) sao cho [You must be registered and logged in to see this image.]
ta giải bài toán ngược: Tìm số nghiệm nguyên của bpt a + b ≤ n (2) thỏa mãn đ/k a, b như trên. Đưa về bài toán đã biết. Chú ý: với a,b ≥ 1 thì mọi nghiệm của bpt(2) luôn thỏa mãn a, b ≤ n-1. ta chỉ cần tìm nghiệm của bpt (2) thỏa mãn a, b ≥ 1

@ em Hiền:
- trong cách đếm của em chưa loại trừ trường hợp trùng nhau, do đó kết quả chưa đúng đâu nhé
- n=2: X=0
- n=3: X=1           (2,2)
- n=4: X=2           (2,3) (3,3)
- n=5: X=4           (2,4) (3,3) (3,4) (4,4)
- n=6: X=6           (2,5) (3,4) (3,5) (4,4) (4,5) (5,5)

em chưa hiểu kí hiệu n, X của anh là như thế nào nhưng em không nghĩ cách giải của em sai đâu. Ở đây cách chọn cặp(a, b), tức là có tính đến thứ tự và mỗi lần chọn a có các giá trị khác nhau nên sẽ không có trường hợp có sự trùng lặp. anh cứ xem kỹ lại coi. em đã thử với các giá trị khác nhau của n, cho thấy cách giải là hoàn toàn đúng đắn (ngay cả bổ đề cũng có thể chứng minh 1 cách dễ dàng).
ví dụ với n=7, theo từng bước ta sẽ có các cặp giá trị sau:
a= 2: (2,6) → có 1 cách
a= 3: (3, 6), (3, 5) → có 2 cách
a= 4: (4, 6), (4, 5), (4, 4)→ có 3 cách
a= 5: (5, 6), (5, 5 ), (5, 4), (5, 3) → có 4 cách
a= 6: (6,6), (6, 5), (6, 4), (6, 3), (6, 2) → có 5 cách
vậy đ/s: 1+2+3+4+5 = 6*5/2 = 15

(3,6) và (6,3) là trùng nhau!

xét n > 2
x + y > n


Hiển nhiên không có nghiệm x = 1
+ n chẵn
- x ≤ n/2, y ≤ n/2: vô nghiệm
- x ≤ n/2, y > n/2: Hiển nhiên không có nghiệm x = 1, do đó x ≥ 2.
          Với x = i, y sẽ nhận giá trị trong khoảng (n-1) ≥ y ≥ (n+1) - i
          Số nghiệm của y tương ứng với x=i là: (n-1) - [(n+1)-i] + 1 = i - 1
          Tổng nghiệm (x,y) trong khoảng x ≤ n/2, y > n/2 là:
          [You must be registered and logged in to see this image.]
- x1 > n/2, x2 > n/2: tổ hợp lặp chập 2 của (n-2)/2
          [You must be registered and logged in to see this image.]
- Tổng các trường hợp
          [You must be registered and logged in to see this image.]

+ Tương tự với n lẻ
- đặt t=(n+1)/2
- x = t: → có (n-1)-t+1 nghiệm y → [You must be registered and logged in to see this image.]
- x < t, y < t: → vô nghiệm
- x < t, y > t: Số nghiệm của y tương ứng với x=i là: (n-1) - [(n+1)-i] + 1 = i - 1
          [You must be registered and logged in to see this image.]
- x > t, y > t: tổ hợp lặp chập 2 của (n-1)- (t+1) + 1 = n - t -1
          [You must be registered and logged in to see this image.]
-Tổng các trường hợp

          [You must be registered and logged in to see this image.]

Tôi giải vo, ra đáp số khác:
Xét trường hợp n >> 2 , vì n < 2 rõ ràng là vô nghiệm.
Dãy số n, n - 1, n-2, ................................... 2, 1
Ta thấy:
Dùng n-1 cặp với bất cứ số nào từ n - 1 đến số 2: Có n -2 cặp gọi là số hạng A1
Dùng n-2 cặp với bất cứ số nào từ n - 2 đến số 3: Có n -4 cặp gọi là số hạng A2
Dùng n-3 cặp với bất cứ số nào từ n - 3 đến số 4: Có n -6 cặp gọi là số hạng A3
...
Cuối cùng:
Nếu n lẻ, sẽ dư ra một số (n+1)/2 cặp với chính nó. Đó chính là số hạng [You must be registered and logged in to see this image.]

Nếu n chẵn, 2 cặp cuối cùng sẽ là cặp số (n/2 +1) cặp với chính nó, và (n/2 +1) cặp với (n/2), đây là số hạng [You must be registered and logged in to see this image.]

Bây giờ ta cộng từ tính [You must be registered and logged in to see this image.] thôi.

Với n lẻ, ta tính được A1 + A2 +...+ [You must be registered and logged in to see this image.] =

[You must be registered and logged in to see this image.]


Với n chẵn ta tính được A1 + A2 +...+[You must be registered and logged in to see this image.] =

[You must be registered and logged in to see this image.]

Cách giải của tôi đếm từ 2 đầu lại đến giữa. Không thê có trường hợp trùng. Cách giải của các đồng chí sẽ có trường hợp trùng. Muốn kiểm tra xem ai đúng, chỉ việc đếm...
[You must be registered and logged in to see this image.] rất là [You must be registered and logged in to see this image.]

Ví dụ với n = 10
Ta có các cặp số (gõ liền cho nhanh nha, vì chỉ có 1 chữ số):
92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99: Có 8 cặp
83, 84, 85, 86, 87, 88: Có 6 cặp
74, 75, 76, 77: Có 4 cặp
65, 66: có 2 cặp.
Hết, tổng cộng: 20 cặp. Vậy công thức của tôi đưa ra đúng hơn công thức khác của các bạn.

[You must be registered and logged in to see this image.]

Xét n lẻ: Ví dụ n = 11. Có các cặp:
102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 1010: 9 cặp
93, 94, 95, 96, 97, 98, 99: 7 cặp
84, 85, 86, 87, 88: 5 cặp
75, 76, 77: 3 cặp
66: 1 cặp
Tổng: 25 cặp. Vậy công thức của tôi đưa ra đúng hơn công thức khác của các bạn.
[You must be registered and logged in to see this image.]

Thấy ngay các công thức khác trên sai lè.

@ Admin: cách của bác hay thế. Em toàn tính từ số bé đến số lớn nên phải chia nhiều trường hợp. Còn bác thì tính từ số lớn đến số bé, nên nó sẽ dừng ở giữa. Lúc này chỉ phải xét n chẵn hay lẻ nữa thôi.

Mỗi việc đếm mà cũng mệt

Bài này anh Admin giải rất hay nhưng em vẫn chưa hiểu tại sao anh lại đưa ra được công thức tổng quát như vậy (nếu cộng A1+ A2+... với nhau). Anh mò à. Giải thích dùm. Nếu anh mò thì anh mò kim đáy biển hơi bị được đấy.

Tongmanhcuong đã viết:Bài này anh Admin giải rất hay nhưng em vẫn chưa hiểu tại sao anh lại đưa ra được công thức tổng quát như vậy (nếu cộng A1+ A2+... với nhau). Anh mò à. Giải thích dùm. Nếu anh mò thì anh mò kim đáy biển hơi bị được đấy.

Nó là cấp số cộng với bước nhảy (công sai) = 2. Tính tổng bằng [(số đầu + số cuối)*Số số hạng] chia 2

Em nghĩ anh TMC hỏi anh là tại sao anh mò được số số hạng.

Lẽ ra theo lý luận của anh, thì anh phải nói thêm một bước thế này cho nó tròn trĩnh:

Số hạng Ai có n-2i cặp số. Muốn tính số số hạng thì chỉ việc tính số hạng Ai, từ đó suy ra i là bao nhiêu.

Theo lập luận của anh:
* Khi n lẻ có 1 cặp cuối cùng cặp với chính nó nên ta có:
n-2i = 1 → i = (n-1)/2 nên có (n - 1)/2 số hạng.

* Khi n chẵn có 2 cặp cuối cùng nên ta có:
n-2i = 2 → i = (n-2)/2 nên có (n - 2)/2 số hạng.

Sau đó anh lắp vào công thức tính tổng của cấp số cộng, thì chẳng có ai thắc mắc được gì.

Quả là các bác vẫn chuyên làm tắt. Cứ nghĩ có người chi tiết nhất, nhưng vẫn... tắt.

Mình cũng nghĩ đến cách này:
Cách 2:
ta đưa về tìm số nghiệm nguyên của bpt: a + b >n (1)
Mọi người sao ko thấy thảo luận cách này nhỉ

Tongmanhcuong đã viết:Với n chẵn: (n-1)^2/2
Với n lẻ: (n^2 - 4n +5)/2


- Đề nghị đ/c TMCường đưa ra phương án giải
- kiểm tra lại kết quả, với n chẵn thì n-1)^2/2 có nghiệm nguyên không??
.

Mình bắt chước bạn TMC
n chẵn: C(2,n-k) + (k-2)(k-1)/2
n lẻ: C(2,n-k-1) + k(k+1)/2

Hô hô, bạn TMC xem tớ giải có đúng không nhá.

hoangtinh đã viết:Mình cũng nghĩ đến cách này:
Cách 2:
ta đưa về tìm số nghiệm nguyên của bpt: a + b >n (1)
Mọi người sao ko thấy thảo luận cách này nhỉ
[You must be registered and logged in to see this image.]

như mọi người đã nhận xét: trường hợp (6, 3) và (3, 6) là như nhau nên không dùng cách này được. Trong việc giải phương trình, bpt (3, 6) và (6, 3) được coi là 2 nghiệm.

Thử với n =7 vậy ta có các cặp là {2,6}; {3,6}; {4;6} ; {5;6}; {3;5}{4,5} ==> hết! tức là đáp án là 6! có ai tìm hơn ko?
Thay vào công thức: n(n-2)/2 của admin ta được 7(7-2)/4 = 8 ????
nếu thay công thức của mrp [(n-1)^2]/4= (6^2)4=36/4 = 9 ????

dacminhm đã viết:Thử với n =7 vậy ta có các cặp là {2,6}; {3,6}; {4;6} ; {5;6}; {3;5}{4,5} ==> hết! tức là đáp án là 6! có ai tìm hơn ko?
Thay vào công thức: n(n-2)/2 của admin ta được 7(7-2)/4 = 8 ????
nếu thay công thức của mrp [(n-1)^2]/4= (6^2)4=36/4 = 9 ????

cái này thì các cậu đang ôn thi tự giải rồi đưa đáp án lên thôi. Các anh ấy đang bận thi với làm luận văn rồi, không trông chờ được đâu.

Mình thử giải bài này vậy
Ta gọi hai số đó là { x₁ ; x₂} khi 1<= x₁ ; x₂ <=n-1
x₁ ; x₂ là số nguyên

Để chọn 2 số nguyên (1;n-1) -> tổ hợp lặp chập k =2 của n phần tử
tức R_n-1² = C_n² = n(n-1)/2

Để có tổng của 2 số lớn hơn n → tìm tổng 2 số nhỏ hơn hoặc bằng n
tức là N_A = x'₁ + x' ₂ <= n

Vậy Kết quả chúng ta cần N_X = R_n-1² - N_A

[You must be registered and logged in to see this image.] Mọi người cho ý kiến về kết quả cuối cùng nào!