Để chứng minh một biểu thức chia hết cho một số có nhiều cách. Ở đây chỉ nêu một phương pháp, có thể áp dụng trong một công đoạn hoặc áp dụng cho suốt quá trình chứng minh. Nên kết hợp với những kỹ năng khác. Ví dụ muốn chứng minh một số chia hết cho a, thì chứng minh nó là một tích của a nhân với một số (hoặc một biểu thức) nào đó chẳng hạn.

Các bước chính theo phương pháp này.
1. Đầu tiên viết biểu thức sang dạng tổng.
2. Những số hạng mà chia hết cho số chia, lý luận để không xét, chỉ xét những số hạng không chia hết.
3. Biến đổi số hạng không chia hết thành số có cùng đồng dư với những số hạng còn lại. Thông thường, là biến nó thành thừa số hoặc cơ số có đồng dư 1 hoặc 0 với số chia.
4. Lý luận để khi thực hiện phép trừ hoặc cộng để nó chia hết.

Bây giờ ta đi vào ví dụ là các bài tập cụ thể:
Bài 6e trang 24. Chứng minh:
S = 3ⁿ+7ⁿ-2 chia hết cho 8

- Nếu n chẵn thì đặt n=2k. Biểu thức trở thành:
S = 3^2k+7^2k-2 = 9^k+49^k-2

Từ biểu thức tính chất của đồng dư là: Nếu a ≡ b (mod m) thì aⁿ ≡ bⁿ (mod m)
Ở đây ta có:
9 ≡ 1 (mod 8) → 9^k ≡ 1^k (mod 8) hay 9^k ≡ 1
49 ≡ 1 (mod 8) → 49^k ≡ 1^k (mod 8) hay 49^k ≡ 1
Vậy 3^2k+7^2k có đồng dư tổng cộng = 2, nên S phải chia hết cho 8.

- Nếu n lẻ thì đặt n = 2k + 1. Biểu thức trở thành:
S = 3^2k+1+7^2k+1-2 = 3.9^k+7.49^k-2

Theo lý luận ở trên, với mod 8, ta đã có:
9^k ≡ 1 và 49^k ≡ 1 mà theo tính chất của đồng dư là:

Nếu ta có:
[You must be registered and logged in to see this image.]Thì [You must be registered and logged in to see this image.]
Nên với (mod 8):
3.9^k ≡ 3.1 = 3
7.49^k ≡ 7.1 = 7

Vậy S sẽ có dồng dư = 3 + 7 -2 = 8 nên đương nhiên S chia hết cho 8.

Ví dụ trong sách có thể giải được ngay theo cách trên.
Cho 4 số nguyên phân biệt [You must be registered and logged in to see this image.] . CMR :
P= [You must be registered and logged in to see this image.]

Theo nguyên lý Dirichlet trong 4 số có ít nhất 2 số đồng dư module 3 như nhau => 1 trong các hiệu [You must be registered and logged in to see this image.] 3 → [You must be registered and logged in to see this image.]
Nếu trong 4 số có 2 số cùng đồng dư module 4 => 1 trong các hiệu [You must be registered and logged in to see this image.] 4 → [You must be registered and logged in to see this image.] → đpcm
Nếu 4 số chia 4 có dư khác nhau => 2 số chẵn, 2 số lẻ → có 2 hiệu giữa 2 số cùng tính chẵn lẻ [You must be registered and logged in to see this image.] 2 → đpcm

Wa hay