Toán quan hệ bản chất là không phải khó vì nó chẳng cần nhiều công thức để chẳng có gì để nhớ nhiều cả. Nó là phần nội dung rất mới, vì bản thân tôi từ bé đến giờ cũng chưa từng gặp toán này bao giờ.
Sở dĩ ta cảm giác là khó vì nguyên nhân sau:
1. Chưa hiểu bản chất của các định nghĩa quan hệ.
2. Chưa hiểu đầu bài ra, muốn thực chất là cái gì.
3. Chưa biết cách trình bày một cách tường minh, vì chúng ta chưa từng xem một bài giải mẫu chuẩn nào về toán quan hệ. Chúng ta sẽ quy nạp được cách làm thông qua tổng hợp cách làm của các bài, cùng bình luận để có một cách giải thống nhất về nó. Tôi nhắc lại là sở dĩ chúng ta không làm được bài vì chúng ta không được truyền đạt đến nơi đến chốn cách làm toán dạng này thôi.

Chúng ta cùng nghiên cứu cách làm một bài toán quan hệ. Tạm quy định như thế này cho dễ. Những gì phải trình bày trong bài làm, ta sẽ tô chữ màu đỏ. Còn những gì chúng ta bình luận để làm rõ, sẽ để chữ thường. Sau khi bàn luận xong, các bạn hãy tự rút ra nhận xét và trình bày quan điểm cũng như những gì thu lượm được về toán dạng này. Tôi nghĩ bài này không phải là khó ăn điểm. Chọn các bài giải này là mẫu, nên chúng ta sẽ chỉ bàn luận về cách thức trình bày chứ không bàn luận về nội dung của bài giải (vì nó là mẫu rồi mà lỵ).

Chúng ta không làm các ví dụ trong sách, vì cái này cứ giở sách ra mà xem, khỏi phải đánh vào đây cho mất thì giờ. Hãy làm các bài có cấu trúc giống như bài thi nhất.

Bài 1:
Cho A = { 1,2,3,4,5,6}
R= { (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(6,6)}
a) R có phải là quan hệ tương đương hay không ?

Giải:
a) R là quan hệ tương đương vì:
-R có tính phản xạ: aRa (1R1 2R2 3R3 4R4 5R5 6R6)
-R có tính đối xứng: nếu aRb thì bRa:
1R2 [You must be registered and logged in to see this image.] 2R1 ((1,2),(2,1) [You must be registered and logged in to see this image.] R)
4R5 [You must be registered and logged in to see this image.] 5R4 ((4,5),(5,4) [You must be registered and logged in to see this image.] R)
-R có tính bắc cầu: nếu aRb, bRc thì aRc:
chẳng hạn 1R2, 2R1 thì 1R1

Xem xét lời giải phần này:
Để trả lời cho câu hỏi R là quan hệ gì, học sinh phải nhớ quan hệ đó có tính chất gì.
- Nêu ra chính xác từng tính chất của quan hệ. R có tính phản xạ, R có tính đối xứng, R có tính bắc cầu
- Dẫn chứng bằng cách áp dụng cụ thể giá trị đã cho vào công thức dẫn chứng: aRa, nếu aRb thì bRa, nếu aRb, bRc thì aRc
- Có thể lấy dẫn chứng tất cả hoặc chỉ ra một vài trường hợp, tuỳ theo yêu cầu của bài. (1R1 2R2 3R3 4R4 5R5 6R6), 1R2 [You must be registered and logged in to see this image.] 2R1, 4R5 [You must be registered and logged in to see this image.] 5R4, 1R2, 2R1 thì 1R1
- Các dẫn chứng đều chỉ rõ là nguồn dẫn chứng theo giả thiết của đầu bài ((1,2),(2,1) [You must be registered and logged in to see this image.] R), ((4,5),(5,4) [You must be registered and logged in to see this image.] R)
- Khẳng định kết luận của yêu cầu bài toán.

Thử bình luận cách làm một vài câu trong đề xem sao:
Câu 5. Đề 1 trang 163:
Cho Bn là tập các dãy nhị phân có độ dài n,
trên Bn xác định quan hệ R như sau a,b Э Bn thì aRb khi và chỉ khi vị
trí các bít '1' của a nằm trong tập vị trí các bít '1' của b.
a. Chứng minh R là quan hệ so sánh.

Lời giải phần này cần phải có:
- Quan hệ gì: Quan hệ so sánh.
- Quan hệ so sánh: có tính chất gì.
- Nêu ra chính xác từng tính chất của quan hệ. R có tính phản xạ, R có tính phản đối xứng, R có tính bắc cầu
- Dẫn chứng bằng cách áp dụng cụ thể giá trị đã cho vào công thức dẫn chứng: aRa, nếu aRb và bRa thì b=a, nếu aRb, bRc thì aRc
- Có thể lấy dẫn chứng bằng cách chỉ ra một vài trường hợp: Do đầu bài không cho cụ thể, ta chỉ ra bằng ví dụ mình tự cho.
- Các dẫn chứng cần chỉ rõ là nguồn dẫn chứng theo giả thiết của đầu bài: Ta tự cho sao cho phù hợp.
- Khẳng định kết luận của yêu cầu bài toán.

Vậy bài làm phải làm như sau:
- Quan hệ R là quan hệ so sánh vì:
+ R có tính phản xạ: aRa (vị trí bít 1 của a chắc chắn cũng phải của chính a, vì nó là chính nó) a Э Bn.
+ R có tính phản đối xứng: aRb và bRa thì a=b. (vì a và b cùng có độ dài xâu bằng nhau, vị trí bít 1 của a đúng với vị trí bít 1 của b, và vị trí bít 1 của b cũng đúng với vị trí bít 1 của a, còn các vị trí khác là bit 0 đương nhiên bằng → a = b) a,b Э Bn.
+ R có tính chất bắc cầu: Nếu aRb, bRc thì aRc. Giả sử có phần tử c Э Bn. Nếu vị trí bít 1 của b thuộc vị trí bít 1 của c thì: số các vị trí bit 1 của c phải lớn hơn hoặc bằng số các vị trí bít 1 của b. Mặt khác, số các bít 1 của b cũng lớn hơn hoặc bằng số các bít 1 của a. 2 điều này chứng tỏ rằng [a] [You must be registered and logged in to see this image.][b] và [b][You must be registered and logged in to see this image.] [c] nên [a] [You must be registered and logged in to see this image.] [c] với a,b,c Э Bn

Phần thứ 2 của các câu trong đề thi về phần quan hệ là dạng:
- Hãy xây dựng phép cộng và phép nhân theo quan hệ R.
Phần này phải làm thế nào?
Đầu tiên nắm rõ định nghĩa và bản chất phép cộng và phép nhân.
Để có được phép cộng và phép nhân, quan hệ R phải là quan hệ so sánh.
Bản chất của phép cộng là: Lấy phần tử cực tiểu của tập C thường là tập chứa các phần tử kết quả của quan hệ R.
Bản chất của phép nhân là: Lấy phần tử cực đại của tập C thường là tập chứa các phần tử kết quả của quan hệ R.
Phần tử cực đại và cực tiểu là gì, xem sách nha.
Hãy xem cách làm đã, để quy nạp cách làm bài dạng này.
Đề bài:
Cho tập Z tập các số nguyên dương. Quan hệ R là quan hệ chia hết.
- Hãy xây dựng phép cộng và phép nhân theo quan hệ R.

Bài làm mẫu:
- Chứng minh quan hệ R là quan hệ so sánh. (Xem phần trên, do đã nói kỹ nên không gõ lại ở đây để tiện trình bày phần này)
- Lấy 2 phần tử m, n Э Z ta có:
- m [You must be registered and logged in to see this image.] n = c₀ với c₀ là phần tử cực tiểu của tập C. Hay c₀ Э C = {c/ c [You must be registered and logged in to see this image.] m và c [You must be registered and logged in to see this image.] n}, theo định nghĩa R thì c₀ phải là số nguyên vừa chia hết cho m, vừa chia hết cho n. Nên tập C là tập chứa tất cả các bội số của m và n.
Theo tính chất định nghĩa của phép cộng, c₀ phải là phần tử nhỏ nhất trong tập C, nên c₀ là BSCNN của m và n.

- m [You must be registered and logged in to see this image.] n = k₀ với k₀ là phần tử cực tiểu của tập K. Hay k₀ Э K = {k/ m [You must be registered and logged in to see this image.] k và n [You must be registered and logged in to see this image.] k}, theo định nghĩa R thì k₀ phải là số nguyên vừa được m chia hết, vừa được n chia hết. Nên tập K là tập chứa tất cả các ước số của m
và n.
Theo tính chất định nghĩa của phép nhân, k₀ phải là phần tử lớn nhất trong tập K, nên k₀ là USCLN của m và n.

Bây giờ ta hãy bình giải bài làm này.
- Đầu tiên phải chứng minh hoặc nêu rõ quan hệ R là quan hệ so sánh. Thường thì câu a của đề đã yêu cầu rồi, nên ta chỉ nói là Do R là quan hệ so sánh (đã trình bày ở phần a của câu hỏi), là xong.
- Tiếp theo phải lấy số phần tử thuộc tập hợp mà đề ra đủ để phục vụ việc chứng minh hay lập luận. Ở đây lấy m và n thuộc Z. Chú ý, nếu không nói, hoặc nói không đủ là lấy m, n thuộc Z, trừ 0,25 điểm.
- Lập luận về kết quả của phép cộng, hoặc nhân là giá trị k₀ hoặc c₀ thuộc một tập chứa nó. Sau đó mô tả những tính chất cơ bản của tập này, chỉ rõ giá trị kết quả của phép cộng và phép nhân vừa trình bày có đặc điểm gì nhận ra dễ nhất trong tập này.

Nào, bây giờ hãy làm thử các đề thi này, để chúng ta cùng bàn luận. [You must be registered and logged in to see this link.]

Ở đây có một chú ý nho nhỏ:
- Khi trình bày phép cộng, phần tử kết quả ghi đằng trước phần tử quan hệ c₀ Э C = {c/ c [You must be registered and logged in to see this image.] m và c [You must be registered and logged in to see this image.] n} nghĩa là c viết trước m, n.
- Khi trình bày phép nhân, phần tử kết quả ghi đằng sau phần tử quan hệ k₀ Э K = {k/ m [You must be registered and logged in to see this image.] k và n [You must be registered and logged in to see this image.] k}, nghĩa là k viết sau m, n.
- Không nên dùng cùng ký hiệu cho phần tử kết quả của 2 phép tính như sách của thầy. Tức là đừng có viết như trong sách, đều coi c₀ phần trên là phần tử cực tiểu là kết quả của phép cộng; phần dưới lại lấy ký hiệu đó làm phần tử cực đại là kết quả của phép nhân. Cho dù thầy có nói chẳng sao, nhưng do không rành mạch, rạch ròi dẫn đến chúng ta dễ phát điên.

Chúng ta có thể google trên mạng để có một cái nhìn bao quát nhất về toán quan hệ. Tôi google một ngày một đêm để nắm rõ bản chất của nó, nhưng thật đáng buồn là tất cả các bài viết tôi tìm thấy chưa bài viết nào đề cập một cách toàn diện về nó. Trình độ có hạn, nên tôi cũng chỉ dám gọi là tổng hợp cho oách để các bạn có thể suy ngẫm như tôi, giúp cho lớp mình đỡ biến thành những con vẹt ngố.

Nên bắt đầu thế nào nhỉ?
- Người ta sẽ cho ta một tập hợp X. Tập hợp này chứa các phần tử tự do, hoặc ràng buộc một vài tính chất nào đó. Cái này để ta xác định và thu hẹp phạm vi xét mà.
- Người ta định nghĩa một mối quan hệ R. Đầu tiên ta nói về một phần tử, quan hệ với một phần tử khác. Đó là một sự ràng buộc của một phần tử a đối với một phần tử b nào đó. Hai phần tử a, b này sẽ làm đại diện khi ta xét cho tất cả các mối quan hệ (loại R) cho các cặp a', b' nào đó. Đương nhiên bọn chúng phải nằm trong tập hợp X. Khi ta nói aRb, thì thằng bên trái chữ R là a, có thể tạm coi là phàn tử chủ động, thằng bên phải b có thể tạm coi là phần tử bị động. Nếu R mang tính tiêu cực thì vai trò trên sẽ bị đổi chỗ.

Đơn giản, khi nói aRb có thể hiểu là a chủ động quan hệ với b. Và khi nói bRa có thể hiểu là b chủ động quan hệ với a, với quan hệ R là tích cực.

- Một thằng k nào đó, (nằm trong số những thằng k) thuộc tập hợp K, mà đều bị các nhóm a và nhóm b quan hệ chủ động với, thì tập hợp K này chính là tập có chứa phần tử của phép nhân a và b. Chỉ ra k là phần tử lớn nhất, thì chính k là kết quả của a nhân b.

- Tương tự một thằng c nào đó, (nằm trong số những thằng c) thuộc tập hợp C, mà thằng c này đều có thể chủ động quan hệ được với cả thằng a và cả thằng b. Mà thằng c này quan hệ chủ động, thì tập hợp C này chính là tập có chứa phần tử của phép cộng a và b. Chỉ ra c là phần tử nhỏ nhất thì chính c là kết quả của a cộng b.

Đấy là nói đơn giản khi một phần tử quan hệ với một phần tử khác. Nhưng thói đời không đơn giản như thế đâu nhé. Có nhiều bài sẽ cho nhiều phần tử quan hệ với nhiều phần tử khác. Lúc đó hãy coi nhóm chủ động hoặc bị động như một phần tử thôi.

Thanks Phan Thị Hải đã có giải thích tường minh nội dung này.

Ví dụ là bài tập số 8, trang 63.
Cho X là {1.. 1000} các phần tử nguyên dương.
Trên tập XxX xác định quan hệ R như sau (a, b) R (c, d) nếu ad = bc. Hãy chứng minh R là quan hệ tương đương.
Ta làm bằng cách copy phỏm đã trình bày ở trên rồi phải thay tương ứng.

a) R là quan hệ tương đương vì:
- R có tính phản xạ: (a,b)R(a,b) (Vì theo định nghĩa của R ta có ab = ab)
- R có tính đối xứng: nếu (a, b)R(c, d) thì (c,d)R(a,b):
(a, b)R(c, d) [You must be registered and logged in to see this image.] ad = bc → (1)
(c,d)R(a,b) [You must be registered and logged in to see this image.] cb = da → (2)
Hai đẳng thức (1) và (2) tương đương nhau vì đó là tính chất giao hoán của phép nhân.
- R có tính bắc cầu: nếu (a, b)R (c, d); (c, d) R (e, f) thì (a, b) R (e, f):
(a, b)R(c, d) [You must be registered and logged in to see this image.] ad = bc → (3)
(c, d)R(e, f) [You must be registered and logged in to see this image.] cf = de → (4)
Từ (3) và (4) phải suy ra được:
(a, b)R(e, f) [You must be registered and logged in to see this image.] af = be → (5)
Chứng minh: Ta nhân vế trái của (3) với vế trái của (4) và vế phải của (3) với vế phải của (4) nhận được:
adcf = bcde (6)
Ta chia 2 vế của (6) cho dc sẽ nhận được (5) đpcm.

Làm thử đề này xem nhé!
Câu 5 Đề 1 trang 163:
Cho Bn là tập các dãy nhị phân có độ dài n,
trên Bn xác định quan hệ R như sau a,b Э Bn thì aRb khi và chỉ khi vị
trí các bít '1' của a nằm trong tập vị trí các bít '1' của b.

a. Chứng minh R là quan hệ so sánh.
b. Hãy xây dựng phép cộng và phép nhân theo quan hệ R.

Để giải ta lại copy phỏm ở trên đã trình bày, biến đổi đôi chút theo đề bài thôi.
Giải:
a) R là quan hệ so sánh vì (đã làm ở phần cuối bài trả lời 2, trong topic này).
b) Xây dựng phép cộng và nhân theo quan hệ R.
- Lấy 2 phần tử a, b Э Bn ta có:
- a [You must be registered and logged in to see this image.] b = c₀ với c₀ là phần tử cực tiểu của tập C. Hay c₀ Э C = {c/ c [You must be registered and logged in to see this image.] a và c [You must be registered and logged in to see this image.] b}, hay C là tập chứa các phần tử có chuỗi bit 1 ở các vị trí mà cả a và b tương ứng phải có. Theo định nghĩa R thì c₀ phải là chuỗi nhị phân có cùng độ dài xâu của a và b, có các vị trí bit 1 tối thiểu để thuộc cả vị trí bit 1 của cả a và b tương ứng. Theo tính chất định nghĩa của phép cộng, c₀ phải là phần tử nhỏ nhất trong tập C, nên c₀chính là a OR b.
- a [You must be registered and logged in to see this image.] b = k₀ với k₀ là phần tử cực tiểu của tập K. Hay k₀ Э K = {k/ a [You must be registered and logged in to see this image.] k và a [You must be registered and logged in to see this image.] k}, theo định nghĩa R thì k₀ phải là có vị trí bit 1 vừa cả bit 1 của a vừa là vị trí bit 1 của b. Nên tập K là tập chứa các phần tử có chuỗi bit 1 ở các vị trí mà cả a và b tương ứng phải có. Theo tính chất định nghĩa của phép nhân, k₀ phải là phần tử lớn nhất trong tập K, nên k₀ chính là a AND b.

Gợi ý kết quả của bài này:
*) Phép cộng chính là phép "or"
*) Phép trừ chính là phép "and"
Các đồng chí tự trình bày nhé. Không làm được tôi hướng dẫn sau. Quan điểm của tôi là phải tự làm thì mới hiệu quả khi nào không thể làm được thì hãy nhờ người khác hướng dẫn. Và nếu các đồng chí hiểu bản chất của vấn đề thì tôi nghĩ việc trình bày không khó, rất đơn giản thôi. Đồng chí Nguyễn Admin đừng quan trọng hóa như vậy.

Bài tập ở trả lời số 6 anh cần phải:
1. Phần chủ động:
- Là a có vị trí bít 1 trùng với X
- b có vị trí bít 1 trùng với X
2. Phần bị động:
- Chỉ rõ X là phần tử như thế nào (Có các vị trí bit 1 của cả a và b, có dộ dài xâu bằng với độ dài xâu của a và của b)
3. Kết luận:
- Phép tính cộng của a + b là phép tính gì.
Ví dụ: giả sử chuỗi a,b có độ dài xâu = 4.
+ a có giá trị 1 (Xâu nhị phân là 0001),
+ b có giá trị là 4 (Xâu nhị phân của 4 là (0100)
Vậy phép quan hệ để có X= a + b là một số, có cả bít của a và cả bit của b là (0101) là 5.
(Lưu ý nếu a = 5, b là 4 thì a + b cũng là 5 (Phải xét xâu nhị phân đó nha).
Anh phải kết luận quan hệ đó là phép tính gì. Đương nhiên chẳng phải OR như anh nói rồi. Có thể đưa ra một biểu thức để mô tả và diễn giải quan hệ a + b.
Tương tự phép a x b cũng vậy.

Các bài tập quan hệ:
Giải hết cái đống này, kiểu gì cũng dính trong đề thi một bài.
Bài tập trang 63.
1. Cho X = {2, 3, 4, 6, 7}; Y = {2, 4, 6, 8}; Z = {1, 2, 3, 7, 8}. R(X, Y) là quan hệ 2 ngôi trên X và Y, xRy nếu y chia hết cho x, và S(Y, Z) là quan hệ 2 ngôi trên Y và Z, ySz nếu y ≤ z.
Hãy biểu diễn quan hệ hợp thành Q=RoS liệt kê.

2. Cho X ={x, y, z, w}; Y = {a, b, c, d}; Z = {1, 2, 3} và R(X, Y) = {(x, a), (x, d), (y, a), (y, c), (z, d), (w, a), (w, d)} là quan hệ 2 ngôi trên X và Y, S(Y, Z) = {(a, 1), (a, 3), (b, 2), (b,3), (c, 1), (c, 2)} là quan hệ 2 ngôi trên Y và Z. Hãy biểu diễn quan hệ Q = RoS bằng phương pháp liệt kê.

3. Cho R là quan hệ 2 ngôi trên tập A. CMR R là đối xứng thì Rⁿ cũng đối xứng với mọi n.

4. Cho R là quan hệ 2 ngôi trên tập A. CMR R là bắc cầu thì Rⁿ cũng bắc cầu.

5. Cho R là quan hệ 2 ngôi trên tập A. CMR R là bắc cầu khi và chỉ khi Rⁿ[You must be registered and logged in to see this image.]R .

6. Cho tập X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} xác định các quan hệ sau R (X, X) là quan hệ chia hết, S (X, X) là quan hệ đồng dư 2.
a. Hãy biểu diễn quan hệ RoS dạng liệt kê.
b. Chứng minh rằng RoS có tính phản xạ.

7. Cho Z {Các số nguyên dương nhỏ hơn 10.000} , trên Z xác định quan hệ 2 ngôi R như sau nRm nếu DIV (n, 1000) = DIV (m, 1000) . CMR quan hệ R là tương đương. Tìm các lớp tương đương của Z.

8. Cho X là tập các số nguyên dương không lớn hơn 1000, trên tập XxX xác định quan hệ R như sau (a, b) R (c, d) nếu ad = cd . Hãy
a. CMR R là quan hệ tương đương trên XxX.
b. Chỉ ra các lớp tương đương nhau.

9. Cho S là tập các điểm trên hình vuông đơn vị. Ta xác định quan hệ 2 ngôi R trên S như sau: (x, y) R (x', y') nếu y - x = y' - x'
a. CMR R là quan hệ tương đương trên S.
b. Chỉ ra các lớp các phần tử tương đương nhau.

10. Cho R là quan hệ 2 ngôi phản xạ trên A. CMR R là quan hệ tương đương khi và chỉ khi với mọi a, b, c Э A thì từ aRb và aRc suy ra bRc.

11. Cho X là tập các bàn cờ 2 x 2 được tô màu trong đó mỗi ô trong số 4 ô được tô màu đỏ hoặc xanh. Xác định quan hệ R trên X như sau xRy nếu y nhận được từ x bằng cách hoặc quay bàn cờ hoặc quay rồi lấy đối xứng qua gương.
a. CMR R là quan hệ tương dương trên X
b. Chỉ ra các lớp các phần tử tương đương nhau trên X.

Bài tập trang 64.

12. Cho ∏₁ và ∏₂ là 2 phân hoạch của tập X; R₁và R₂ là 2 quan hệ tương đương tương ứng với ∏₁ và ∏₂. Chứng minh rằng ∏₁ ≤ ∏₂ khi và chỉ khi (xR₁y => xR₂y)

13. Cho Z {Tập các số nguyên dương ≤ 1000}, R₆, R₃, R₂ tương ứng với các quan hệ ≡ 6, 3, 2. Ký hiệu ∏₆, ∏₃, ∏₂là các phân hoạch. Chứng minh rằng:
a. ₆, R₃, R₂là các quan hệ tương đương.
b. ∏₆ ≤ ∏₃ và ∏₆ ≤ ∏₃
c ∏₆ = ∏₃ ∩ ∏₂

14. Cho R là quan hệ tương đương trên tập A, S là quan hệ tương đương trên tập B. chứng minh rằng RxS cũng là quan hệ tương đương , hãy chỉ ra các lớp tương đương. (sorry you, câu này khó quá, bỏ đi nhé)

15. Cho P₁={A₁, A₂..., A_n}, P₂={B₁, B₂..., B_m} là 2 phân hoạch của tập S, chứng minh rằng các tập con không rỗng có dạng A_i ∩ B_j cũng là phân hoạch của S , nhỏ hơn cả P₁ và P₂.

16. Cho tập các điểm M(x, y) như sau: U={(x, y) / -1 ≤ x ≤ 1, -1 ≤ y ≤ 1} Trên U xác định quan hệ sau M π M' tương đương x ≤ x' và y ≤ y'
a. chứng minh rằng π là quan hệ so sánh.
b. Chỉ ra các phép toán cộng và nhân

17. Cho B_n là tập các dãy nhị phân có độ dài n, trên B_n xác định quan hệ R như sau a, b Э B_n thì aRb khi và chỉ khi vị trí các bit 1 của a nằm trong vị trí các bit 1 của b.
a. chứng minh rằng R là quan hệ so sánh.
b. Hãy xây dựng phép cộng và phép nhân theo quan hệ R
c. Lấy ví dụ về tập sắp xếp toàn phần

18. Cho tập X = {a₁, a₂..., a_n} là tập sắp xếp riêng theo quan hệ R. quan hệ S = RxR trên tập XxX được định nghĩa như sau (a_i, a_j) S (a_p, a_q) khi và chỉ khi a_i R a_p và a_j R a_q
a. S có phải là quan hệ so sánh?
b. Nếu {b₁, b₂..., b_n}[You must be registered and logged in to see this image.]X là một tập sắp xếp toàn phần , nếu câu a là khẳng định hãy xây dựng tập sắp xếp toàn phần trong XxX.
c. Hãy chỉ các phép cộng và nhân.

Bạn Khách viếng thăm thân mến, nếu có một câu về toán quan hệ, chắc chắn sẽ có 1 câu dạng như trên trong đề thi. Nên diễn đàn đề nghị Khách viếng thăm cùng tham gia giải để các chuyên gia đánh giá. Như thế chúng ta sẽ có một bộ đề cương tốt. Hi vọng Khách viếng thăm cùng nhiệt tình chia sẻ, cảm ơn Khách viếng thăm đã đọc.

Câu 5 Đề 1 trang 163:
Cho Bn là tập các dãy nhị phân có độ dài n,
trên Bn xác định quan hệ R như sau a,b Э Bn thì aRb khi và chỉ khi vị
trí các bít '1' của a nằm trong tập vị trí các bít '1' của b.

a. Chứng minh R là quan hệ so sánh.
b. Hãy xây dựng phép cộng và phép nhân theo quan hệ R.


đ/c admin giải thích thì đúng rồi, nhưng kết quả sao lại phải sửa lại?
Phép a(+)b chính là phép cộng logic.
Phép a(x)b chính là phép nhân logic.

mrP đã viết:Câu 5 Đề 1 trang 163:
đ/c admin giải thích thì đúng rồi, nhưng kết quả sao lại phải sửa lại?
Phép a(+)b chính là phép cộng logic.
Phép a(x)b chính là phép nhân logic.

Em thấy các anh cần làm theo quy trình sau, lưu ý quy trình này chỉ áp dụng đối với quan hệ so sánh thôi đó nha:
Để xây dựng một phép cộng logic (nhân logic tương tự):
1. Xác định các phần tử chủ động: Tuỳ theo tính chất quan hệ mà có thể lấy số lượng các phần tử phù hợp với yêu cầu bài toán.
Vi dụ, trong bài toán này các anh lấy 2 phần tử a và b làm phần tử chủ động.
2. Áp dụng để xác định tính chất cho phần tử bị động, từ phần tử chủ động đã cho. Gọi phần tử bị động là a' và b'. Tức là áp dụng quan hệ aRa', bRb' để có được tính chất của 2 phần tử bị động là a' và b' (nếu có nhiều hơn thì cứ thế nhé!).
3. Tạo một bảng tổng hợp tính chất của a' và b' đó là tính chất của c. c là kết quả của phép cộng logic a+b nên nói rõ hơn phần tử này càng chi tiết càng tốt.
4. Xem xét các biên, của tập C chứa c. Xác định phép toán của a và b để có được c
5. Phát biểu tập C là tập gì? Phần tử c có đặc điểm gì? Phép toán để có được c là phép toán gì. Nếu cần phải lấy dẫn chứng, chứng minh.
Trả lời được mục 5 rõ ràng, rành mạch, tỉ mỉ, chuẩn xác, mới được điểm tối đa về câu hỏi dạng xây dựng phép cộng và phép nhân theo quan hệ R.

12. Cho ∏1 và ∏2 là 2 phân hoạch của tập X; R1và R2 là 2 quan hệ tương đương tương ứng với ∏1 và ∏2. Chứng minh rằng ∏1 ≤ ∏2 khi và chỉ khi (xR1y => xR2y)

Từ định nghĩa, với ∏1 = {Ai} phân hoạch theo R1, ∏2 = {Bj} phân hoạch theo R2, khi đó ∏1 ≤ ∏2 nếu với mỗi tập Ai bất kỳ đều tồn tại tập Bj sao cho [You must be registered and logged in to see this link.].

tức là [You must be registered and logged in to see this link.]

Vì [You must be registered and logged in to see this link.]

nên [You must be registered and logged in to see this link.].


Điều kiện đủ: với mọi x,y thuộc Ai bất kỳ ta đều có [You must be registered and logged in to see this link.]. Vì với mọi x,y thuộc Ai, ta có xR₂y nên chúng đều chỉ nằm trong một phân hoạch Bj nào đó mà thôi. Do đó với Ai bất kỳ đều tồn tại một Bj sao cho [You must be registered and logged in to see this link.], hay ∏1 ≤ ∏2(đpcm)

15. Cho P1={A1, A2..., An}, P2={B1, B2..., Bm} là 2 phân hoạch của tập S, chứng minh rằng các tập con không rỗng có dạng Ai ∩ Bj cũng là phân hoạch của S , nhỏ hơn cả P1 và P2.

- Đặt Cp = Ai ∩ Bj, từ giả thiết → Cp không rỗng với mọi p. (1)

- Cp = Ai1 ∩ Bj1, Cq = Ai2 ∩ Bj2, Với p ≠ q có nghĩa là không đồng thời i1=i2 và j1=j2. Giả sử i1 ≠ i2 → Ai1 ∩ Ai2=O → Cp ∩ Cq = O, tương tự với j1 ≠ j2. (2)

- Rõ ràng Ai thuộc S, nên tập con Cp của Ai cũng thuộc S. Ngược lại với mọi x thuộc S, tồn tại i và j sao cho x thuộc Ai và Bj, khi đó Cp = Ai ∩ Bj chứa x. vậy P3={C1, C2, ... , Ck}=S. (3)

- (1), (2), (3) → theo định nghĩa, P3 là phân hoạch của S.



- Theo bài 12 thì P3 < P2, P3 < P1.

e đọc mãi mà vẫn không hiểu phần lớp tương đương. .đầu óc e kém quá

thầy cô và các bạn có thể bỏ chút ít thời gian giúp mình câu này nhé>.
trong các quan hệ sau, quan hệ nào có tính chất phản xạ, đối xứng , phản đố xứng, và bắc cầu
a. quan hệ S trên Z: aSb khi và chỉ khi a+b là số chẵn
b.b quan hệ T trên Z: aTb khi và chỉ khi a-b là số lẽ
c. quan hệ P trên Z :aPb khi và chỉ khi abinhf phương cộng b bình phương là số chẵn
d. quan hệ Q trênR : khi và chỉ khi trị tuyệt đối của a= tri tuyệt đối của b

chào mọi ngừoi.
mình có vấn đề về tc phản đối xứng
mọi ngừoi có thể nói rõ hơn chỗ này đựoc ko?
dẫn chứng cụ thể càng tốt.