Câu 1: (2 điểm)
a. Tính:

TÍNH TỔNG CÁC PHẦN TỬ CÓ CƠ SỐ VÀ SỐ MŨ CHẠY LÊN CAO
Đầu tiên, đây không phải bài tập mà chỉ là ghi lại và diễn giải một vài biểu thức trên lớp thầy áp dụng mà lớp mình nhiều người còn chưa kịp hình dung đã bị chuyển sang nội dung khác. Bạn đọc kỹ bài này sẽ hiểu tường tận khi đó có thể bắt chước để giải bất cứ một bài toán tổng nào có phần tử dạng nxⁿ. Tôi cố tình ghi dài ra để diễn dịch, còn bài thi thì chỉ cần vài dòng là xong.

Một số công thức phải thuộc:
1. Đạo hàm:
- Đạo hàm của một luỹ thừa
[You must be registered and logged in to see this image.]
→ thay x bằng 1 số, VD số 2, ta được:
[You must be registered and logged in to see this image.]
- Đạo hàm của một tổng bằng tổng đạo hàm.
- Đạo hàm của một thương
[You must be registered and logged in to see this image.]


2. Công thức hiệu của 2 luỹ thừa, ở đây ta cho một số là số 1 (Luỹ thừa bao nhiêu cũng là 1, nên trong phép nhân, thường bỏ qua không viết)

[You must be registered and logged in to see this image.]

→ Sn=
[You must be registered and logged in to see this image.]


Mấu chốt là ở công thức suy ra trên. Tôi để nguyên cho dễ nhìn, mặc dù có thể thu gọn thành:

[You must be registered and logged in to see this image.]


Ta lấy đạo hàm cả 2 vế của Sn, vế trái phải bằng vế phải, đương nhiên rồi vì 2 vế bằng nhau. Ta có:

Vế trái:
[You must be registered and logged in to see this image.]

Để ý, công thức trên sau khi biến đổi số phần tử đã bị giảm đi 1 (do đạo hàm của hằng số 1 cuối cùng đã bị biến thành 0).
Lại để ý tiếp ta thấy:

[You must be registered and logged in to see this image.]
(nghĩa là mình tách ra để sao cho hệ số với số mũ bằng nhau), tương tự cái dòng này ta sẽ có, ngoặc lại cho dễ nhìn:
[You must be registered and logged in to see this image.]

Bây giờ ta cộng lại toàn bộ phần bên trái dấu bằng, với phần bên phải dấu bằng của phần ngoặc trên. Bên trái dấu bằng chính là đạo hàm của Sn hay (Sn)’. Bên phải dấu bằng sẽ được:

[You must be registered and logged in to see this image.]

Ta thấy bên phải còn thiếu thiếu thứ gì để nó đưa về dạng cơ bản, nên ta cộng thêm phần thiếu đó để được phần cơ bản, rồi lại trừ đi. Tức là tổng trong ngoặc vuông thứ nhất thiếu nxⁿ, tổng trong ngoặc vuông thứ 2 thiếu xⁿ và số 1. Vậy ta cộng thêm là (n+1)xⁿ+1. Ta đưa vào đúng vị trí của nó cho dễ xem:

[You must be registered and logged in to see this image.]

Ta thay cụm công thức trong ngoặc vuông thứ 2 chính là Sn, chuyển phần trừ trong ngoặc vuông thứ 3 sang bên trái được:
[You must be registered and logged in to see this image.]
Bây giờ ta mới đạo hàm Sn. Từ công thức ta dễ dàng suy ra giá trị của nó:

Từ
[You must be registered and logged in to see this image.]

Nên: [You must be registered and logged in to see this image.]


Từ đây ta có công thức:
[You must be registered and logged in to see this image.]

Thay vào ta được.

Viết lại cho đẹp:
[You must be registered and logged in to see this image.]

Ví dụ thay x = 4 ta có:
[You must be registered and logged in to see this image.] Còn làm tiếp thế nào thì các bạn tự biến đổi cho vui nha.